数值分析实验.pdf

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1、华中科技大学数值分析实验报告专业班级水利水电工程1201班学号M201273331姓名裴翔羽指导老师路志宏2013年4月15号实验4.1实验目的:复化求积公式计算定积分实验题目:数值计算下列各式右端定积分的近似值3111(1)ln2ln32d(2)xx4d20xx2211212xx2(3)3d(4)xexexdln301实验要求:(1)若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre型17公式做计算，要求绝对误差限为10，分别利用它们的余项2对每种算法做出步长的事前估计。(2)分别用复化梯形公式、

2、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre型公式作计算。(3)将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。1解:一、复化求积公式基本介绍1.复化梯形求积公式ba将区间[a,b]划分为n等分，分点xakhh(,k0,1,2,…，n),在每个子knb()ba区间[,xx](k0,1,2,…，n1)上采用梯形式fxdx()[()fafb()],则得kk1a2nn11bxk1hIfxdx()fxdx()[()fxkfx(k1)]Rfn()axk2kk00记nn11hh=Tn[()fx

3、kfx(k1)]=[()2fafx()kfb()]22kk01称上式为复化梯形公式，其余项可由式3b11(ba)''Rf[]=fxdx()(ba)[fa()fb()]f()(ab)a2212得n13h''Rfn()=-=ITn[f(k)],k[,xxkk1]k012n12''1''''由于fx()Cab[,],且minf(k)f(k)maxf(k)0kn1n0kn1k0所以(,),ab使n1''1''()=ff(k)nk0于是复化梯形公式余项为()ba2''Rf

4、()=-hf()n122.复化Simpson求积公式b将区间[a,b]划分为n等分，在每个子区间[xx,]上采用Simpson式fxdx()kk1a(ba)ab1[()4(faf)fb()],若记x=xh,则得kk12622nn11bxk1hIfxdx()fxdx()[()4(fxkfxk12)fx(k1)]Rfn()axk6kk00记nn11hhS=n[()4(fxkfxk12)fx(k1)]=[()4fafx(k12)2()fxkfb()]66kk00称上式为复化Simps

5、on求积公式，其余项可由式25()ba(4)Rf[]=f()(ab)2880得n1hh4(4)Rfn()=-S=-In()f(),kk[,xxkk1]1802k04于是当fx()Cab[,]时，与复化梯形公式相似有bah4(4)Rf()=-S=-I()f(),(ab,)nn18023.复化Gauss-LegendreI型求积公式ba将区间[a,b]划分为n等分，分点为xakhk(0,1,2,…,;nh)，在每个kn子区间[xx,]上采用2点Gauss-Legendre求积公式kk1xk1(xk1xk)xk

6、1+xkxk1-xk11xk1+xkxk1-xkfxdx()[(f-)+(f+)],xk6223322在[a,b]区间上的复化积分公式为bhn1hhfxdx()[(fx11)+(fx)]a2k0kk222323上式称为复化Gauss-LegendreI型求积公式。4ba于是当fx()Cab[,]，h时，复化Gauss-LegendreI型求积公式的余项表达式为n4()bah(4)R()=ff(),[,]abn4320二、复化求积公式求解过程1.利用余项对所要求的每种算法做出步长的事前估计3111(1)ln2ln3

7、2d(2)xx4d20xx2211212xx2(3)3d(4)xexexdln301根据题意：令-24ff1222xx11xxf334fxe331(1)ln2ln32dx2x21因为2(2)-4(3x1)(4)2424f1f1()2355(x1)(xx1)(1)所以(2)(2)52(4)(4)5808max1ff=1max1ff=1x227x224317又因为题目要求绝对误差限为10，所以2对于复化梯形求积公式有2(ba)2''(32)h521-7Rf()-hf()=

8、10n1212272所以n1791.6因此取步长n