江苏省高考数学二轮复习专题四函数与导数第3讲函数、导数的综合问题学案.docx

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1、第3讲　函数、导数的综合问题[考情考向分析]　函数和导数的综合问题，主要是利用导数证明不等式问题、函数零点问题、函数的实际应用问题等，一般需要研究函数的单调性和最值问题，注重数学思想的考查．B级要求，题目难度较大．热点一　利用导数研究不等式问题例1　已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，lnx>－恒成立．(1)解　由题意知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a≤2lnx＋

2、x＋.设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．(2)证明　问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞))恒成立．又f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(

3、x)min＝f ＝－.设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，从而对一切x∈(0，＋∞)，lnx>－恒成立．思维升华　利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．跟踪演练1　已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(1)若f(1)＝0，求函数f(x)的单调减区间；(2)若关于x的不等式f(x)≤ax－1恒成立，求整数a的最小值．解

4、　(1)因为f(1)＝1－＝0，所以a＝2，此时f(x)＝lnx－x2＋x(x>0)，f′(x)＝－2x＋1＝(x>0)．由f′(x)<0，得2x2－x－1>0，解得x<－或x>1.又因为x>0，所以x>1.所以f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．(2)方法一　由f(x)≤ax－1恒成立，得lnx－ax2＋x≤ax－1在(0，＋∞)上恒成立，问题等价于a≥在(0，＋∞)上恒成立．令g(x)＝(x＞0)，只需a≥g(x)max即可．又g′(x)＝，令g′(x)＝0，得－x－lnx＝0.设h(x)＝－x－lnx(x＞0)，因为h

5、′(x)＝－－<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，不妨设－x－lnx＝0的根为x0.当x∈(0，x0)时，g′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上是增函数，在(x0，＋∞)上是减函数，所以g(x)max＝g(x0)＝＝＝.因为h＝ln2－>0，h(1)＝－<0，所以

6、0时，因为x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为g(1)＝ln1－a＋(1－a)＋1＝－a＋2>0，所以关于x的不等式f(x)≤ax－1不能恒成立．当a>0时，g′(x)＝＝－.令g′(x)＝0，得x＝.所以当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，因此函数g(x)在上是增函数，在上是减函数．故函数g(x)的最大值为g＝ln－a×2＋(1－a)×＋1＝－lna.令h(a)＝－lna，因为h(1)＝>0，h(2)＝－ln2<0，又h(a)在(0，＋∞)上是减函数，所以当a≥2时，h(

7、a)<0，所以整数a的最小值为2.热点二　利用导数研究实际应用问题例2　(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．(1)求a

8、，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤