实用线性代数 教学课件 作者 徐秀娟实用线性代数课件第二章.ppt

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1、矩阵的秩3初等矩阵２矩阵的初等变换和等价标准形１线性方程组求解4第二章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换和等价标准形矩阵的初等变换矩阵的等价标准形例2.1用消元法解线性方程组一、矩阵的初等变换为引入矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组，通过消元得到一个很容易求解的阶梯形等价方程组解：为说明问题，我们把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程放在一起做对比第一步把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2倍，把第三个方程加上第一个方程的-1倍，得第二步交换上面方程组中第二与第三个方程的位置，得第三步把上面方程组中的第三个方程加上第二个方程的5倍，得第四步把上面方程组中

2、的第三个方程两边同乘以-1/19，得最后得到的方程组具有这样的特点：自上而下看，未知量的个数依次减少，成为阶梯形（上面用虚线标出的为阶梯形）方程组,而阶梯形方程组求解非常容易，只需从最后一个方程开始逐步往上“回代”，即可求得方程组的解：小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（　与　相互替换）（以　　　替换　）（以　　　　替换　）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．在上述

3、变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换．把对方程组的三种变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调i,j两行，记作（2）以不为零的数k乘某一行的所有元素(第i行乘数k,记作（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第j行上去,记作定义2.11.把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义。2.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。注意：三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之相应的同一类型的初等变换,即的逆变换就是本

4、身的逆变换是的逆变换是例2.1的消元过程，就是对方程组的增广矩阵施以初等行变换，使系数矩阵化为上三角形矩阵的过程，这一过程用矩阵初等行变换形式可表示为等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价二、矩阵的等价标准形利用矩阵的初等行变换，可以将一个矩阵变成如下形式的阶梯形矩阵，例如，对矩阵相继施行一系列初等行变换，得若记则矩阵B,C具有如下两个特点：特点：（1）零行（元素全为零的行）都在非零行的下边；（2）非零行的非零首元（第一个不是零的元素）的下边全是零。称满足上述两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵。如果行阶梯形矩阵的非零行的非零首元是1，并

5、且它所在的列的其它元素都是零，则称具有此类特点的矩阵为行最简形矩阵。注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．上述矩阵就是行最简形矩阵。又若对矩阵C继续做初等列变换，则矩阵C可进一步被简化为其中最后一个矩阵的特点是其左上角是一个单位矩阵，而其余元素全为零。定义2.3若矩阵可经若干次初等变换化为形如的矩阵，则称为矩阵的等价标准形矩阵定理2.1所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.例2.2用初等变换化矩阵为行最简形矩阵。解首先对做初等行变换则所求行最简形矩阵为例2

6、.3用初等变换化矩阵为行最简形矩阵和标准形矩阵。解（1）先从矩阵A最左边的非零列开始，通过交换它的第1，3两行使矩阵A的（1，1）位置为非零元，然后利用矩阵的初等行变换将它下方元素变成零，即（2）以上述矩阵的（2，2）位置为准利用矩阵的初等行变换将它下方元素变成零，即（3）再以上述矩阵的非零行的非零首元为准利用矩阵的初等行变换将其上方元素变成零，即则上述最后一个矩阵就是所求行最简形矩阵，即对上述行最简形矩阵继续做初等列变换有：于是所求矩阵A的标准形矩阵为1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换三、小　结思考题１、一个非零矩阵的行阶

7、梯形与行最简形有什么区别和联系？２、一个矩阵的行阶梯形矩阵与行最简形矩阵是否唯一？３、决定等价标准形的主要因素是什么？第二节初等矩阵初等矩阵的概念初等变换与初等矩阵的关系求逆矩阵的初等变换法单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们是：定义2.4一、初等矩阵的概念由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵都是可逆的，且：注意：二、初等变换与初等矩阵的关系设，则有上述运算说明对矩阵施行一次初等行变换可通过在其左侧乘以一