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1、2.4抛 物 线2.4.1抛物线及其标准方程问题引航1.抛物线的定义是什么?标准方程的四种形式各是什么?2.如何建系才能使方程最简单?怎样推导抛物线的标准方程?1.抛物线的定义(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_____的点的轨迹.(2)焦点:____叫做抛物线的焦点.(3)准线:_____叫做抛物线的准线.相等点F直线l标准方程图 形焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)__________x2=2py(p>0)__________x2=-2py(p>0)__________2.抛物
2、线的标准方程1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.()【解析】(1)正确.抛物线的标准方程中p(p>0)即为焦点到准线的距离,故该说法正确.(2)正确.一次项决定焦点所在的坐标轴,一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上,故该说法正确.(3)错误.当定点在定直线上时,不表示抛物线,故该说法错误.答案:(1)√(2)√(3)×2.做一做
3、(请把正确的答案写在横线上)(1)抛物线y2=4x的焦点坐标为;准线方程为.(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离p=.(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为.【解析】(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1，0),准线方程为x=-1.答案：(1,0)x=-1(2)因为x=2ay2(a＞0)，所以由所以答案：(3)因为焦点坐标为(0,2)，故标准方程可设为x2=2py(p＞0),其中所以p=4.故标准方程为x2=8y.答案：x2=8y【要点探究】知识点抛物线的定义及标准方程1.对抛物线定义的两
4、点说明(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.2.抛物线标准方程的特点(1)是关于x,y的二元二次方程.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.3.四种位置的抛物线标准方程的对比(1)共同点:①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③焦点的非零坐标都是一次项系数的.(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2.②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)
5、的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.【知识拓展】抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，当b,c为0时，y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线，标准方程为x2=a>0时抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y2=2px，表示一条曲线，不能称为函数.【微思考】(1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么?提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.(2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个
6、量?提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.【即时练】1.以为焦点的抛物线的标准方程是_________.2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为__________.【解析】1.因为焦点F为所以抛物线方程可设为y2=-2px(p＞0)，由所以故标准方程为y2=-3x.答案：y2=-3x2.根据抛物线的定义，点P到抛物线准线的距离为9，设P(x0,y0)，则即x0+2=9，所以x0=7，代入y2=8x，得所以P点坐标为答案：【题型示范】类型一求抛物线的标准方程【典例1】(1)已知双曲线C1：(a>0,
7、b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()(2)求适合下列条件的抛物线的标准方程:①过点M(-6，6)；②焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.【解题探究】1.题(1)中抛物线的焦点坐标是什么？2.题(2)①已知抛物线上一点，如何确定开口方向？②中抛物线的焦点坐标是什么?【探究提示】1.抛物线的焦点坐标为2.①中的点在第二象限，故抛物线的开口向上或向左；②中抛物线的焦点坐标为(0,-3)或(2,0).【自主解答】(1)选D.抛物线的焦点坐标为双曲线的渐近线方程为
8、不妨取即bx-ay=0，焦点到渐近线的距离为即所以又双曲线的离心率为2,所以所以p=8，所以抛物线方程为x2=16y.(2)①由于点M(-6，6)在第二象限,所以过M的抛物线开口向左或开口向上
