数值分析上机实验报告.doc

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1、结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。(,下同)计算结果为x=1.40441513061523；f(x)=-3.797205105904311e-007；k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2.用二分法计算方程在[1，1.5]内的根。计算结果为x=1.32471847534180；f(x)=2.209494846194815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3.用Newton法求解下列方程a)x0=0.5；计算结果为x=

2、0.56714329040978；f(x)=2.220446049250313e-016；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b)x0=1；c)x0=0.45,x0=0.65；当x0=0.45时，计算结果为x=0.49999999999983；f(x)=-8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x=0.50000000000000；

3、f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x0〉0.68时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。1.用改进的Newton法求解，有2重根，取x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改时，结果收敛为x=0.50000087704286；f(x)=4.385198907621127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不

4、是收敛至方程的2重根上。当x0=0.85时，结果收敛为x=1.00000000000489；f(x)=2.394337647718737e-023；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但

5、是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。结果分析和讨论：例用最小二乘法处理下面的实验数据.xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出的近似分布图。分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为：y1=-0.38643+0.82750x；y2=-1.03024

6、+1.06893x-0.02012x2；y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5；分别作出它们的曲线图，图中点划线为y1曲线，实线为y2曲线，虚线为y5曲线。x’为给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可以了。结果分析和讨论：本实验采用函数进行数值插值，插值区间为[-1，1]，给定节点为xj=-1+jh,h=0.

7、1，j=0,…，n。下面分别给出Lagrange插值，三次样条插值，线性插值的函数曲线和数据表。图中只标出Lagrange插值的十次多项式的曲线，其它曲线没有标出，从数据表中可以看出具体的误差。表中，L10(x)为Lagrange插值的10次多项式，S10(x)，S40(x)分别代表n=10，40的三次样条插值函数，X10(x)，X40(x)分别代表n=10，40的线性分段插值函数。xf(x)L10(x)S10(x)S40(x)X10(x)X40(x)-1.000000000000000.03846153846

8、1540.038461538461540.038461538461540.038461538461540.038461538461540.03846153846154-0.950000000000000.042440318302391.923631149719200.042408331510400.042440318302390.043552036199100.042440318302