函数的性质与带有绝对值的函数(教师).doc

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1、.函数的性质与带有绝对值的函数一、复习要点基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法.二、基础训练1．(1)若f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1＋，则f(x) ＝．（2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)=0，则f(x)＜0的x的取值范围是．【答案】（1）；（2）(－2，2).2.已知函数，若当时恒有,则函数的

2、递减区间是.【答案】.3．（1）若函数y＝log2(x＋2)的图象与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)=．（2）已知f(x)＝log2

3、ax＋3

4、关于x＝1对称，则实数a＝．【答案】（1）log2(4－x)；（2）－3或0．4.已知函数，若且，则的取值范围是.【答案】.5.在上为增函数，则实数的取值范围是.【答案】.6.关于的方程的实数解的个数为.【答案】1个.7.有4个根，则实数的取值范围是.【答案】.8.若不等式a＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】.三、典型例题例1已知函数（其中是实数常数，）

5、（1）若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；（3）若，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围。页脚.【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；然后等价转化.【解答】(1)，．类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．又函数的图像的对称中心是，，.证明：函数，,而，所以，即也在上.所以函数图像关于（-1，3）对称.(2)由(1)知，．依据题意，对任意，恒有．　若，则，符合题意．　若，当

6、时，对任意，恒有，不符合题意．　　所以，函数在上是单调递减函数，且满足．因此，当且仅当，即时符合题意．　[来源:学。科。网Z。X。X。K]综上，所求实数的范围是．(3)依据题设，有解得于是，．　由，解得．　因此，．考察函数，可知该函数在是增函数，故．所以，所求负实数的取值范围是．　例2已知函数，且，．（1）求、的值；（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求的最小值，并求此时点的坐标；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论.页脚.【解答】（1）由，

7、得，解得：．（2）由（1），所以，令，，则因为，所以，所以，当，所以，即的最小值是，此时，，点的坐标是。（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，或．法一：在或下，问题化为对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，①当时，或，②当时，且对恒成立，对于对恒成立，等价于，令，，则，，，递增，，，结合或，对于对恒成立，等价于令，，则，，，递减，，，，综上：。法二：问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，或．故问题转化为对恒成立，令①若时，由于，故，在时单调递增，依题意，，舍去；页脚.②若，由于，故，考虑到，再分两种情形：

8、（ⅰ），即，的最大值是，依题意，即，；（ⅱ），即，在时单调递增，故，，，舍去。综上可得，。【反思】恰当地转化是解决本题的关键，另外本题也是含参问题，涉及到分类讨论思想的运用.例题3已知.（1）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（2）若在R上恒为增函数，试求的取值范围.【分析】(1)是一个具体清晰的函数，讨论去掉绝对值就可以了，（2）必须结合图像进行分析.【解答】（1）当时，.(ⅰ)时，，当时，；当时，.(ⅱ)当时，当时，；当时，.综上所述，当或4时，；当时，.（2），在上恒为增函数的充要条

9、件是，解得.【反思】对于既有自变量又有参变量的问题，应该充分利用数形结合思想进行分析.例2已知函数，.（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求函数在区间[-2,2]上的最大值.【分析】本题是含有绝对值的二次型函数，涉及最值问题，去掉绝对值后，就属于二次函数（动轴定区间、定轴变区间）的最值问题了.【解答】(1)方程即，，显然是方程的根，所以方程无解或者只有一个解（这种情况不成立），.（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，页脚.①当时，（*）显然成立，此时；②当时，（

10、*）可变形为，令因为当时，，当时，，所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.（3）解法一：去掉绝对值后单独讨论.,当.（ⅰ）当即时，；(ⅱ)当即时，；(ⅲ)当即时，.当.（ⅰ）当即时，；(ⅱ)当即时，；(ⅲ)即时，.综上所述：当时，；当时，