数学分析学习课件.ppt

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1、第二章数列极限§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件要求：理解数列极限的“---N”定义；了解数列极限的性质，并可计算数列的极限；理解数列极限的单调有界原则及柯西准则.重点：数列极限的“---N”定义；收敛数列的性质及收敛条件.难点：数列极限的“---N”定义和数列收敛条件.§2.1数列极限的概念一、概念的引入及数列的定义二、收敛数列和发散数列三、数列的特性四、无穷小数列五、小结与思考题一、概念的引入及数列的定义引例1如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接

2、正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2、截丈问题：竭”“一尺之棰，日截其半，万世不例如●●●●●●●●●●●●●●●●●●目标不惟一！！！！！！！！！！！！例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义二、收敛数列和发散数列问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻

3、划它.通过观察:当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,

4、xn-a

5、无限接近于0.当n无限增大时,

6、xn-a

7、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

8、xn-a

9、能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n增大到一定程度以后,

10、xn-a

11、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.数列极限的精确定义定义1:设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

12、xna

13、

14、数列{xn}的极限或者称数列{xn}收敛于a记为如果不存在这样的常数a就说数列{xn}没有极限问题:注意：0,NN当nN时有

15、xna

16、.极限定义的简记形式3.定义1习惯上称为极限的ε—N定义.这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式

17、xn－a

18、＜ε（n＞N）定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点即在a的ε邻域内有数列中的无限个点.OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●

19、●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！分析:例1证明0,NN当nN时有

20、xna

21、.数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式

22、xn－a

23、＜ε不易考虑，往往采用把

24、xn－a

25、放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N例2证明证明则当n＞N时，有例3.证明分析:要使（为简化，限定n)只要证.当n>N时有.例4.证明（K为正实数）证：由于所以对任意ε＞0，取N=,当n＞N时,便有例5证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.例6证例7证由上面数列极限的证

26、明可总结出数列极限证明的步骤：2适当放大,通常放大成的形式，求出需要的1化简3解总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。三.数列的特性结论:改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性.四.无穷小数列定义极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）命题1命题2命题3五.小结与思考题小结:(1)数列极限的定义;(2)数列极限的几何意义;(3)应用数列极限的定义证明数列极限的方法.作业P

27、27:1,2(1)(2)(4),3,4.课堂延续性教学思考题:如何用数学式子描述:和数列发散练习题:P27:2(3)(5),5数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点即在a的ε邻域外至多有数列中的有限个点.0,NN当nN时有

28、xna

29、.例1证特取例2证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.