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1、第二章数列极限§1实数系的连续性实数系实数集合R的重要的基本性质——连续性。第二章数列极限§1实数系的连续性实数系实数集合R的重要的基本性质——连续性。数系的扩充历史自然数集合N：关于加法与乘法运算是封闭的，但是N关于减法运算并不封闭。整数集合Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是Z关于除法是不封闭的。整数集合Z具有“离散性”。⎧q+⎫有理数集合Q=⎨x
2、x=,p∈N,q∈Z⎬。关于加法、减法、乘⎩p⎭法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。c⎧q+⎫有理数集合Q=⎨x
3、x=,p∈N,q∈Z⎬。关于加法、减法、乘⎩p⎭法与除法四则运算都是封闭的。有理数
4、集合Q具有“稠密性”。虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有“空隙”。例如用表示边长为1的正方形的对角线的长度，这个c就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有必要将有理数集合加以扩充。-3-2-101c23图2.1.1有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集R：R={xx是有理数或无理数}。有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。全
5、体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集R：R={xx是有理数或无理数}。全体无理数所对应的点（称为无理点）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。实数集合的这一性质称为实数系R的“连续性”。R又被称为实数连续统。实数系R的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。“确界存在定理”就是实数系R连续性的表述之一。最大数与最小数记号：“∃”表示“存在”或“可以找到”，“∀”表示“对于任意的”或“对于每一个”。例如A⊂B⇔∀xA∈,有x∈B，A⊄B⇔∃xA∈,使得x∉B。最大数与最小数
6、记号：“∃”表示“存在”或“可以找到”，“∀”表示“对于任意的”或“对于每一个”。例如A⊂B⇔∀xA∈,有x∈B，A⊄B⇔∃xA∈,使得x∉B。设S是一个数集，如果∃ξ∈S，使得∀xS∈，有x≤ξ，则称ξ是数集S的最大数，记为ξ=maxS；如果∃η∈S，使得∀xS∈,有x≥η，则称η是数集S的最小数，记为η=minS。当数集S是非空有限集时，maxS是这有限个数中的最大者，minS是这有限个数中的最小者。但是当S是无限集时，S可能不具有最大数及最小数。例2.1.1集合A={
7、xx≥0}没有最大数，但有最小数，minA=0。例2.1.1集合A={
8、xx≥0}没有最大数，
9、但有最小数，minA=0。例2.1.2集合B={
10、xx01≤<}没有最大数。证用反证法。假设集合B有最大数，记为β。由β∈[,)01，可知1+ββ′=∈[,)01。但是β′>β，这就与β是集合B的最大数发生矛2盾。所以集合B没有最大数。上确界与下确界设S是一个非空数集，如果∃M∈R，使得∀xS∈，有x≤M，则称M是S的一个上界；如果∃m∈R，使得∀xS∈，有xm≥,则称m是S的一个下界。上确界与下确界设S是一个非空数集，如果∃M∈R，使得∀xS∈，有x≤M，则称M是S的一个上界；如果∃m∈R，使得∀xS∈，有xm≥,则称m是S的一个下界。当数集S既有上界，又有下界时，
11、称S为有界集。S为有界集⇔∃X>0，使得∀x∈S，有x≤X。设数集S有上界，记U为S的上界全体所组成的集合，则显然U不可能有最大数，下面将证明：U一定有最小数。设U的最小数为β，就称β为数集S的上确界，即最小上界,记为β=supS。上确界β满足下述两个性质：1.β是数集S的上界：∀xS∈，有x≤β；2.任何小于β的数不是数集S的上界：∀ε>0，∃xS∈,使得x>β−ε。若数集S有下界，记L为S的下界全体所组成的集合，则显然L不可能有最小数，同样可以证明：L一定有最大数。设L的最大数为α，就称α为数集S的下确界，即最大下界,记为α=infS。下确界α满足下述两个性质：1
12、.α是数集S的下界：∀xS∈，有x≥α；2.任何大于α的数不是数集S的下界：∀ε>0，∃xS∈，使得x<α+ε。定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。证任何一个实数x可表示成x=［x］+(x)，其中［x］表示x的整数部分，(x)表示x的非负小数部分。将(x)表示成无限小数的形式：(x)=0.aa??a,12n其中aa，，，，??a中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的12n一个
