圆周角与圆心角关系（1）.ppt

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1、第三节圆周角和圆心角的关系(一)北师大版九年级下册第三章圆授课教师：王铁军回顾与思考如图1,在圆O中,∠AOB是角。OAB如图2,AB=CD,则∠AOB与∠COD的大小关系是：。BAOCD圆心相等生活中的数学在足球比赛中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。探索生活中的数学奥秘如图，当运动员分别站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角∠ABC、∠ADC和∠AEC大小相等吗？请观察这三个角，它们有什么共同特征吗?学习目标1．了解圆周角的概念,掌握判断圆周角的方法;2．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,掌握圆周角的相关性质;3.运用圆

2、周角的相关性质进行简单的计算和证明,会解决生活中的一些问题;探索新知一:观察图中的∠ABC：角的顶点在什么位置？角的两边与圆什么关系？ABC观察图中的∠ABC，角的顶点在圆周上，且角的两边都与圆相交,像这样的角叫做圆周角。请同学们思考下面两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？为解决这个问题，我们先回答下面的问题。ABC认知概念:例１、下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。ABCDE答：根据圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。你能总结出圆周角的特征吗？圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交。巩固

3、新知探索新知二：同一条弧所对的圆周角与它所对圆心角大小之间有怎样的关系？ACＯ合作与探究同一条弧所对圆周角与圆心角共有以下三种位置情况：BAOC①ABCO②BACO③探究问题：在以上各图中，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小之间存有怎样的关系？学习要求：１、以小组为单位，任意选择两种情况分类进行组内合作学习；２、在组内初步形成结论，并能陈述理由；３、各组推荐两名代表在黑板上展示各组的学习成果；下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即圆心O在∠ABC的一边BC上。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO

4、。∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。ABCO也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。D（此时我们得到与图①同样的情形）132BAOC①∵∠1是△ABO的外角，∴∠1=∠2+∠3。∵OA=OB，∴∠2=∠3。∴∠1=2∠2，∴∠2=∠1。125412同理,∠4=∠5。12∴∠2+∠4=（∠1+∠5）。∴∠ABC=∠AOC。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠AOD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=

5、∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12∴∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD=（∠AOD－∠COD）。∴∠ABC=∠AOC12121212认真观察，归纳真知通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么样的结果？BAOCABCOBACO一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的。一半AOC

6、B１、如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=。点拨：此题要选择关键点：∠BOC与∠BAC对着BC，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。25°小试牛刀一题多变变式2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=。ABCO变式1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=。50°80°由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。活学活用大胆尝试，练一练！如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（弧BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小？由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200°

7、，则∠BOD就可求。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°ABCD1Ｏ大胆尝试，练一练！ABCDO如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。∴∠BAD=∠BOD=×160°=80°1212课内拓展延伸1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?答:和圆有关的角有圆心角和圆周