弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶第四章.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第四章平面问题的极坐标解答第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题习题的提示与答案教学参考资料第七节压力隧洞平面问题的极坐标解答第四章区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)

2、与极坐标比较：坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体─由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。注意：两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x轴向y轴方向转向为正。微分体上的作用力有：体力—，以坐标正向为正。应力—面，面分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。作

3、用力考虑通过微分体形心C的向，列出三个平衡条件:应用假定:（1）连续性，（2）小变形。平衡条件平衡条件其中可取通过形心C的向合力为0，上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向相似；而—是由于面面积大于面面积而引起的，—是由于面上的在C点的向有投影。略去三阶微量，保留到二阶微量，得通过形心C的向合力为0，式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程相似，而—是由于面的面积大于面引起的，—是由于面上的切应力在C点的向有投影。通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得几何方程—表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。§4－2　

4、极坐标中的几何方程及物理方程过任一点作两个沿正标向的微分线段,1.只有径向位移，求形变。P,A,B变形后为，各点的位移如图。几何方程PA线应变在小变形假定下，几何方程此项表示，由于径向位移所引起的环向线段的伸长应变。∴切应变为几何方程2.只有环向位移,求形变P,A,B变形后为，各点的位移如图(b)。几何方程几何方程切应变此项表示：环向位移引起的环向线段的转角（极坐标中才有）。几何方程3.当和同时存在时，几何方程为几何方程且与为正交，极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程，平面

5、应力问题的物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，边界条件—应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：边界条件故边界条件形式简单。以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：§4－3极坐标中的应力函数与相容方程物理量的转换;从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。函数的变换：将式或代入，坐标变量的变换：反之1.从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变换或矢量的变换：位移坐标变换导数的变换：将对的导数，变换为对的导数。可看成是而又是的函数，即是通过中间变量，为的复合函数。有坐标变换而代入，即得一阶导数的变换公式,一阶导数，。注意：系数中也包含

6、和，展开即得：二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如二阶导数拉普拉斯算子的变换：由式（f）得二阶导数其中如式(g)所示。3.极坐标中应力用应力函数表示，可考虑几种导出方法：2.极坐标中的相容方程从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）。相容方程应力公式(2)应用特殊关系式，即当x轴移动到与轴重合时，有:代入式(f)，得出如书中公式。(3)应用应力变换公式（下节），应力公式(4)应用应力变换公式（下节），而代入式(f)，得出的公式。比较两式的的系数，便得出的公式。应力公式4.极坐标系中按应力函数求解，应满足：(1)A内相容方程(2)上的应力边界条件（

7、设全部为应力边界条件）。(3)多连体中的位移单值条件。按求解应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。因此，应力分量的坐标变换关系，应按以下方式得出。§4－4应力分量的坐标变换式1.已知，求。取出一个包含x面y(含)和面（含）的三角形微分体，厚度为1，如下图A，考虑其平衡条件。得同理，由得类似地取出包含x面,y面和面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，得应用相似的方法，可得到2.已知，求应力数值轴对称—仅为的函数，应力方向轴对称—轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。轴对称应力问题：§4－5轴对称应力和相应的位移轴对称应力问题其中相

8、应的应力函数，应力公式为