弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶_第八章.ppt

《弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶_第八章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第八章空间问题的解答第五节等截面直杆的扭转第四节按应力求解空间问题第三节半空间体在边界上受法向集中力第二节半空间体受重力及均布压力第一节按位移求解空间问题第六节扭转问题的薄膜比拟第七节椭圆截面杆的扭转第八节矩形截面杆的扭转例题习题的提示和答案教学参考资料1.取u,v,w为基本未知函数。按位移求解2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即§8－1按位移求解空间问题其中体积应变按位移求解3.将式(a

2、)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：其中拉普拉斯算子V内基本方程4.将式代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：边界条件位移边界条件仍为:（2）上的应力边界条件(c),（3）上的位移边界条件(d)。归结：按位移求解空间问题，位移u,v,w必须满足：按位移求解这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b),优点在空间问题中，按位移求解方法尤为要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边

3、界条件。按位移求解空间轴对称问题在柱坐标中，可以相似地导出：位移应满足：轴对称问题（1）V内的平衡微分方程，轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变轴对称问题（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。1、试导出空间问题中　上的应力边界条件（8-4）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程（书中式（8-4）），并将上的应力边界条件　　　　用位移来表示。思考题设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。§8－2半空间体受重力及均布压力问题采用按位移求解：考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，∴可设位

4、移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，求解方程积分两次,得相应的应力为求解方程（2）在z=0的负z面，应力边界条件为边界条件由式(d)求出A，得应力解为位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由可以确定B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定B；侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即侧压力系数当时，侧向变形最大，侧向压力也最大，说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度

5、极大，接近于刚体。讨论：思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面应变问题简化，将得到什么形式的表达式？再转向平面应力问题，又将得到什么形式的表达式？并与平面问题的位移函数相比较（参见“弹性力学简明教程学习指导”和第二章教学参考资料）。3.试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习指导”）。设有半空间体，在o点受有法向集中力F。本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，而位移,而和应满足:§8-3半空

6、间体在边界上受法向集中力问题（1）平衡微分方程（书中（8-4））求解条件其中（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。其中应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点o。边界面上任一点的沉陷，（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便

7、得到书上公式。分布力试由位移函数的表达式(8-11)，导出式(8-12)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）2.试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导出式(8-15)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）思考题§8－4按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：按应力求解形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取σx…τyz…为基本未知函数。因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只

8、解全部为应力边界条件的问题。3.在V内导出求应力的方程:从几何方程消去位移，导出六个相容方程：（2）相容方程（六个）:（1）平衡微分方程（三个）。V内方程再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12））。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。应力边界条件（1）V内的三个平衡微分方程；其中(1),(3)是静力平衡条件；(2),