弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶第二章.ppt

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1、第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第二章平面问题的基本理论第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程例题教学参考资料习题的提示和答案第十节常应力情况下的简化应力函数第二章平面问题的基本理论弹力平面问题共有应力、应变、位移8个未知函数，且均为。§2－1　平面应力问题和平面应变问题弹力空间问题共有应力、应变、位移15个未知函数，且均为；平面应力条件是：⑴等厚度的薄板；⑵体力、作用于体内，∥面，沿板厚不变；⑶面力、作

2、用于板边，∥面，沿板厚不变；⑷约束、作用于板边，∥面，沿板厚不变。有两类问题可以简化为平面问题。第一种：平面应力问题平面应力坐标系如图选择。平面应力简化为平面应力问题：故只有平面应力　存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力⑴两板面上无面力和约束作用，故∴归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。平面应力⑵由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力　仅为。如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：F例题1（习题2-3）选择坐标系如图。因表面无任何面力，、、=0,故表面上在近表面很薄一层∴接近

3、平面应力问题。平面应力第二种：平面应变问题条件是：⑴很长的常截面柱体；⑵体力、作用于体内，∥面，沿长度方向不变；⑶面力、作用于柱面，∥面，沿长度方向不变；⑷约束、作用于柱面，∥面，沿长度方向不变。平面应变坐标系选择如图：平面应变对称面故任何z面（截面）均为对称面。∴平面应变⑴截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束∥xy面，柱体非常长，简化为平面应变问题：⑵由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变、位移均为。平面应变∴归纳平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为。平面应变例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox例2（习题

4、2-4）按平面应变问题特征来分析，本题中只有，且为平面应变oxyz§2－2　平衡微分方程定义平衡微分方程─表示物体内任一点的微分体的平衡条件。在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体,作用于微分体上的力：体力：。应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。定义应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。列出平衡条件：合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出三个平衡条件:平衡条件其中一阶微量抵消，并除以得：，同理可得：平衡条件当时，得切应力互等定理,得平衡

5、条件对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，（，）∈A；⑵适用的条件─连续性、小变形；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。说明⑸比较:理力考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。材力考虑有限体的平衡（近似）。弹力考虑微分体的平衡（精确）。说明当均平衡时，保证、平衡；反之则不然。所以弹力的平衡条件是严格的、精确的。说明理力（V）材力（）弹力（）hVdxdydx思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件,改为对某一角点的，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得

6、出什么结果？已知坐标面上应力，求斜面上的应力。问题的提出：§2－3　平面问题中一点的应力状态问题斜面应力表示：求解：取出一个三角形微分体（包含面、面，面）边长问题由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求（,）（a）斜面应力其中l=cos(n,x),m=cos(n,y).(2)求（）将向法向、切向投影，得斜面应力设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:(3)求主应力斜面应力将x，y放在方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设）(4)求最大、最小应力最大、最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)几何方程─表示任一点的微分线段上形变

7、与位移之间的关系。§2－4　几何方程　刚体位移定义变形前位置：变形后位置：─各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段定义当很小时，应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。假定假定由位移求形变：PA线应变PA转角PB线应变PB转角同理，⑴适用于区域内任何点，因为（x,y）A；对几何方程的说明：∴平面问题的几何方程为说明⑶适用条件：a.连续性；b.小变形。⑵应用小变形假定，略去了高阶小量线性的几何方程；⑷几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。⑸形变和位移之间的关系：位移确定形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上

8、的形变确定。说明从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。从物理概念看，、确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，、确定，求位移是积分运算，出