离散数学及其应用 本科 何中胜03　代数系统.ppt

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1、第3篇　代数系统（AlgebraSystem）2数学的本质就在于一切能证明的都要证明。G.Frege没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。CarusPaul第3篇代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽象代数”。第3篇代数系统内容集合的概念1集合的表示方法2环与域3格与布尔代数4代数系统与性质1半群与群25（一个二元运算）两个运算有逆元两个运算有单位元代数系统结合律半群单位

2、元、逆元群循环群可换群变换群子群循环半群单元半群可换半群整环域商环理想有补格有界格布尔代数正规子群、商群特殊环特殊子环两个运算的单位元、逆元（两个二元运算：,)两个运算的结合律、交换律、吸收律格两个运算的分配律分配格单位元，无零因子（两个二元运算：,)可换群,半群,对分配群环交换律可换环单位元,逆元交换律单位元生成元交换律生成元子集上的群特殊群特殊群第5章代数系统集合的概念1同态与同构3代数系统与子代数1运算性质与特殊元2第5章代数系统7特殊群6

3、半群与含幺半群4群及其性质5陪集与拉格朗日定理7环与域8本章学习要求重点掌握一般掌握了解11代数系统与子代数2二元运算律3特殊元4同态与同构5半群、群、子群及性质6元素的周期及计算7生成元与循环群8陪集与拉氏定理3同态与同构的应用商群及性质21同类型代数系统2正规子群性质与同态核代数运算定义5.1.1设A是一个非空集合，f是从An(nN+)到A的一个函数，则称f为A上的一个n元代数运算，简称为n元运算。即对任意的An，都存在唯一的xA，使得f(

4、)=x。若f是A上的一个代数运算，也称A在运算f下是封闭的。称自然数集合N上的加法“+”为运算，这是因为给定两个自然数a,b,由加法“+”，可以得到唯一的自然数c=a+b。加法“+”是映射吗？N上的加法运算“+”本质上是一个N×N→N的映射代数运算例5.1.1设N+、Z、Q、R分别表示正整数集，整数集，有理数集和实数集，(1)求一个数的相反数是Z、Q、R上的一元运算。(2)普通加法和乘法都是N+上的二元运算，而减法和除法不是。因为1,2N+，但1+2,12N+。(3)普通加法、减法和乘法都是

5、R上的二元运算，而除法不是。因为0R，但0不能做除数。(4)求平方根是R+上的一元运算，但不是R上的一元运算。因为-4R，但-4没有平方根。此外，9R，但9有两个平方根3。(5)集合的并、交、相对补和对称差运算是A的幂集P(A)上的二元运算，而绝对补运算是P(A)上的一元运算。(6)设Mn(R)表示n阶实矩阵集合(n2)，则矩阵的加法和乘法是Mn(R)上的二元运算。(7)设对任意R3，有f()=x，则f为R上的三元运算。10代数运算通常用，，*，，+，

6、等符号来表示n元运算，称为算符。如例5.1.1(1)中N+上的取相反数运算可表示x=-x，(2)中N+上的加法运算可记为(x,y)=x+y或者xy=x+y，(7)中R3上的运算f可记为(x,y,z)=x。一个二元运算就是一个特殊的映射，采取中缀方法表示为ab＝c运算表有限集上的一元或二元运算有时也用运算表来表示。设A={a1,a2,…,an}，为A上的一元运算，为上的二元运算，则和的运算表如下表所示。ai（ai）a1a2……an(a1)(a2)……(an)○a1a2……

7、ana1a2……ana1○a1a1○a2……a1○ana2○a1a2○a2……a2○an………………an○a1an○a2……an○an2021/7/23定义5.1.2设A是非空集合，f1,f2,…,fm分别是定义在A上k1,k2,…,km元封闭运算，ki是正整数，i=1,2,…,m。称集合A和f1,f2,…,fm所组成的系统称为代数系统，简称代数，记为。当A是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统，否则称为无限代数系统注意：判断集合A和其上的代数运算是否是代数系统，关键

8、是判断两点：一是集合A非空，二是这些运算关于A是否满足封闭性。例子(1)R上的“+”、“×”运算；解构成一个代数系统〈R，+，×〉；(2)p（S）上的“∩”、“∪”、“―”运算；解构成代数系统,称集合代数；(3)含有n个命题变元的命题集合A与A上的“∧”、“∨”、“┐”运算；解构成代数系统〈A，∧，∨，┐〉，称之为命题代数。同类型代数系统定义5.1.3设和是两个代数系统，若“oi”和“i”都是ki元运