《 数学分析续论 》模拟试题复习辅导课件 2005年7月 .ppt

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1、《数学分析续论》模拟试题复习辅导课件　2005年７月1一、单项选择题（１）设为一数列，且存在一收敛子列．这时下面正确的是·······················[D]Ａ．；Ｂ．可能收敛，但A不一定成立；Ｃ．必定不收敛；Ｄ．当预先假设了收敛时，才有Ａ成立．2［理由］收敛的充要条件为：的所有子列都收敛，此时才有Ａ成立；而当只有一个子列收敛时，原数列不一定收敛．［思考题］当假设为一特殊的数列（例如单调数列）时，结论将有何改变？3（２），它等价于············[B]Ａ．当　　　　　　　　　　；Ｂ．在中除有限个项以外

2、，其余所有的项都落在邻域之内；Ｃ．都收敛；Ｄ．中有无穷多个子列都收敛于．4［理由］Ｂ与　　　　　的　　　　定义显然是等价的；它也可说成是：“在邻域　　　　外，至多只有有限个项”．再有,因Ｃ中未假设　　　　　　　的极限相等；而Ｄ中所说的“无穷多个子列”并不等同于“所有子列”，所以这些都是错误的．5（３）设在R上为一连续函数．这时下面正确的是·······································[A]Ａ．当为闭区间时，　　　必为闭区间；Ｂ．当　　　为闭区间时，　必为闭区间；Ｃ．当为开区间时，　　　必为开

3、区间；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．6［理由］依据连续函数在闭区间上的最大（小）值定理与介值性定理，可知A是正确的．容易举出反例,说明B与C都是错的，例如：．［思考题］当把Ａ与Ｂ中的所有“闭区间”改为“开区间”时，结论又将如何？7（４）设为一正项级数．这时下面错误的是···································[C]Ａ．若收敛，则；Ｂ．若，则收敛；C．若收敛，则；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ中必有一个是错的．8［理由］因为是正项级数收敛的一个充分条件（不是必要条件）；而是一般级数　　　收敛的一个必要条件（

4、不是充分条件），所以错误的结论只有C．9二、计算题（１）试求下列极限：①．［解］=　　　　　　　　　　　　　．10②求．［解］利用性质　　　　　（其中为连续函数），借助洛必达法则，有．11（２）设试求．［解］一般地，对于向量函数，其导数为一2×2矩阵，即．12．据此求得．13（３）试求由曲线　　　，直线　　　　　　，以及轴所围曲边梯形的面积．［解］由定积分的几何意义，如图所示的曲边梯形其面积为14（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法），求内接于圆的等腰三角形的最大面积．［解］如图所示，这个等腰三角形的顶点坐标为，底

5、边一端为．于是，三角形的面积，其中　　　满足条件．15依据Lagrange乘数法，设，且令通过消去，容易得到方程，由此解出．16显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当时　　　　，这时所求三角形的面积为最大：．［注］用　　　代入,将得到一个不等式．［思考题］当把题中的圆改为椭圆　　　　时，得出的结果将会怎样？请大家自己去算一算．17三、证明题（１）证明：方程　　　　　　必有正根，其中　为任意正数．［证］证明需要用到连续函数的介值性定理，即若上为一连续函数，　　　　，则内必能取得之间的一切值．18设　　　　　，显然它在　　　　

6、　上连续．因，故由无穷大量的定义，对于任意的，，使得　　　，．现取，于是有．根据介值性定理，必定，满足．19（２）证明：若，收敛，则亦收敛．［证］由于收敛，因此，于是当足够大时，，从而又有．依据正项级数的比较判别法，推知收敛．20［注１］也可利用比较判别法的极限形式，由，同样证得　　　收敛．［注２］当为一般项级数时，不能直接使用比较判别法．事实上，上述命题一般不成立，例如：为收敛，而却为发散．21bye-bye22