《 数学分析续论 》模拟试题（三）

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1、《数学分析续论》模拟试题（三）一、实数完备性问题．（１５分）(1)叙述单调有界定理与区间套定理；(2)用区间套定理证明单调有界定理．［答（１）］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限．　　区间套定理：若为一区间套，即满足：①；　　②，则存在惟一的，．［证（２）］设为递减且有下界的数列，欲证收敛．为此构造区间套如下：令；记，再令……，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套，使得恒为的下界，而不是的下界．　由区间套定理，，．下面进一步证明．根据区间套定理的推论，时，．由于恒为的下界，而不是的下界，故对上述，必有；且因为递减数列，当时满足，于是

2、，这就证得．　　同理可证为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明．　　　　　　　□5二、（１０分）(1)写出中点集为开集的定义；(2)用定义证明：若、都为开集，则并集与交集亦都为开集．［答（１）］所谓是开集，是指中所有点都是的内点．即，，满足．［证（２）］设、都为开集，下面证明为开集．为此任取，由，则或．根据开集定义，，使得，或，从而．这就证得为中的一个开集．　　　　类似地可证亦为开集，请读者自行写出它的证明．　　　　　　　　　□三、（１０分）已知在区间上连续，且为一一映射．证明：在上必为严格单调函数．（提示：使用反证法，并借助连续函数

3、的介值性．）［证］倘若在上不是严格单调函数，则，使得，不失一般性，设．现任取满足，则由连续函数的介值性，，使得．而这与在上为一一映射的假设相矛盾，所以在上必为严格单调函数．□注意　在函数为连续的前提下，严格单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下，一一映射的不一定是严格单调的．例如右图所示的函数，它在上是一一映射，但却不是严格单调的．5四、（１０分）设．试求．［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得：，．□五、（１５分）证明：在个正数的乘积为定值的条件之下，这个正数的和的最小值为．并由此结果推出以下不等式：．［证］用Lagrange乘数法，

4、设，并令．由于的最大值不存在，最小值存在，因此5；并有．以代入上式，则得所求之不等式．□六、积分问题．（２０分）（１）画出曲线；并求由该曲线和直线以及轴所围图形的面积；（２）设为连续函数，证明：．［解（１）］为画出曲线，可先改写其方程为　　　　此曲线和直线以及轴所围图形如右图所示．其面积计算如下：［证（２）］作变换，把原积分化为由此移项后即得．□5七、级数问题．（２０分）（１）证明：；（２）证明：．　　　提示：利用幂级数，．［证（１）］考察级数．由于，故此级数收敛．依据级数收敛的必要条件，便证得．［证（２）］考察幂级数．由于，因此．从而求得

5、．□5