《 数学分析续论 》模拟试题（二）

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1、s《数学分析续论》模拟试题（二）一、单项选择题（）（１）设为一数列，对它有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[]　　Ａ．若存在收敛子列，则必收敛；　Ｂ．虽存在发散子列，但仍可收敛；　　Ｃ．若所有子列都收敛，则必收敛；Ｄ．所有子列都收敛，但它们可有不同极限．（２）设在上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[]Ａ．值域必为一开区间；Ｂ．值域必为一闭区间；Ｃ．为闭区间时，亦必为闭区间；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（３）若，则，使得当时，必有

2、．．．．．．．．．[]Ａ．单调递増；　　　　　Ｂ．；Ｃ．若存在，则Ａ成立；　　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设在上可导，则在上必定为．．．．．．．．．．．．．．[]Ａ．既存在最大值，又存在最小值；　Ｂ．不能同时存在最大值和最小值；Ｃ．在的点处必取极值；　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（５）已知，这时必有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[]Ａ．在；　　　　　　Ｂ．不能有无穷多个取负值；C．取正值的要比取负值的多得多；Ｄ．不能只有有限多个取正值．二、计算题（）（１）试

3、求下列极限：ss　　　①；　　　　②．　　（２）设．试求．（３）试求由曲线，直线，及轴所围曲边梯形的面积．（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法）求内接于椭圆的长方形的最大面积．三、证明题（）（１）设在上连续．试证：，其中分别是在上的最小值与最大值．（２）利用凸函数方法（詹森不等式）证明：,其中为任意正数；并讨论当为任意负数时，上述不等式应作怎样改变？（３）证明：．　　　提示：把上式中的级数看作ss．解答一、（１）Ｃ；　（２）Ｂ；　（３）Ｂ；　（４）Ａ；　（５）Ｄ．二、（１）[解]①；　　②（２）［解］．

4、（３）［解］所围曲边梯形如右图所示，其面积为O1．（４）［解］由题意，所求长方形的面积为，其中ss需满足，故此为一条件极大值问题．依据Lagrange乘数法，设，并令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆ）由方程组（Ｆ）容易解出：．据题意，内接长方形的最小面积为零；故最大面积为．三、（１）［证］由闭区间上连续函数的最大、小值定理，，使得．若恒为一常数，结论成立；现不妨设．再由连续函数的介值性定理，，这说明值域充满了整个闭区间．　　（２）［证］设．由于，所以在上为一凸函数．根据詹森不等式，对任何正数，恒有

5、ss．而当时，为一凹函数，故对任何负数，恒有．　　（３）［证］由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数在处的值，于是问题转为计算．　　不难知道上述幂级数的收敛域为，经逐项求导得到；这已是一个几何级数，其和为．再通过两边求积分，还原得由于这里的，于是求得　　　　　　　　　　．　　　　　s