有限元方法ppt课件.ppt

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1、有限元方法1有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法，它的基础分两个方面：一是变分原理，二是剖分插值．从第一方面看，有限元法是Ritz-Galerkin方法的一种变形．它提供了一种选取“局部基函数”的新技巧，从而克服了Ritz-Galerkin方法选取基函数的固有困难．从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法比差分方法有

2、更广泛的适应性．2§7.两点边值问题的有限元方法本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.7.1基于Ritz法的有限元方程考虑两点边值问题其中，31.写出Ritz形式的变分问题与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：求，使其中，（7.3）式(7.3)是应用有限元法求解边值问题(7.1)、(7.2)的出发点.42.区域剖分剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元．单元的几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以不同

3、．对于一维情形最为简单.将求解区间分成若干个子区间，其节点为每个单元的长度为.单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.5设为的有限维子空间，它的元素为.要构造，只需构造单元基函数.构造单元基函数所遵循的原则是：其中，是单元节点序号为的节点.(1)每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，每个节点对应一个基函数，本例中，单元有两个节点，因此基函数有两个.(2)基函数应具有性质63.确定单元基函数有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别

4、之一，就在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的．由于各个单元具有规则的几何形状，而且可以不必考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则．78910(7.6)令4.形成有限元方程便得到确定的线性代数方程组称式（7.5）为有限元方程.11(7.8)(7.7)值得注意的是，在实际计算中，并不是按照上述步骤形成有限元方程的，而是先进行单元分析，即在单元上建立有限元特征式，然后再进行总体合成，即将各单元的有限元特征式进行累加，合成为有限元方程．具体过程如下：第一步：单元分析.注意到作变换12(7.10)并引入记号其中，.于是或写成(7.9

5、)其中，.从而有13(7.11)这里(7.12)称为单元刚度矩阵，其中(7.13)14(7.16)(7.14)式中(7.15)将式（7.11）、（7.14）代入式（7.7），便有对式（7.7）右端第二项积分，有这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：15于是有第二步：总体合成.总体合成就是将单元上的有限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程.这一过程实际上是将单元有限元特征式中的系数矩阵（称为单元刚度矩阵）逐个累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关于的线性代数方程组．为此

6、，记从而式(7.16)右端第一个和式为16(7.17)其中（未标明的元素均为0）这就是总刚度矩阵．对式(7.16)右端第二个和式，有其中这就是总荷载向量.17从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的计算，实际上是把中四个元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算也是如此．我们引入，只是为了叙述方便，实际上，在编制程序时并不需要．显然，方程组(7.18)的系数矩阵是对称正定的三对角矩阵，因此可采用追赶法求出在节点上的近似值.(7.18)其这样，就可将式(7.16)写成因此，有限元方程为18§7.两点边值问题的有限元方法本节以两点边值问题为例

7、，并从Ritz法和Galerkin法两种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.7.1基于Ritz法的有限元方程7.2基于Galerkin法的有限元方程从Galerkin法出发形成有限元方程的过程与前面完全一样，针对边值问题(7.1)、(7.2)所得到的结果也是一致的．但是从Galerkin法出发形成的有限元方程更具一般性，它不仅适用于对称正定的算子方程，而且也适用于非对称正定的算子方程，所以我们今后主要是依据这一观点建立有限元方程．19与边值问题(7.1)、(7.2)等价的Galerkin变分问题是：求，使得(7.19)其中仍用分段线性函数

8、构成的试探函数空间替代，将代入(7.19)，则得到所满足的线性代数方程组(7.20)这和方程组(7.6)是完全一样的.20与容易看出，方