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《图形图像学基础12：Bezier曲线.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、上节回顾曲线的参数表示：曲线上一点坐标的参数表示：曲线上一点的导矢量：上节回顾曲线上某一点处的切矢量方向与一阶导矢量方向一致参数为弧长c时，一般参数t时，,曲线上某一点处的曲率k等于二阶导矢量的模曲线上某一点处的主法矢量方向与二阶导矢量方向一致上节回顾一条三次代数曲线的代数形式矢量表示已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)调和函数几何系数Hermite参数曲线上节回顾四点式曲线其中给定空间中n+1个点的位置矢量（控制点），构造一条n次曲线（曲线次数与控制点个数有关）n+1个控制点构成由n
2、条边组成的折线集，称为控制多边形控制多边形起点、终点和曲线起点、终点重合。控制多边形第一条边和最后一条边表示曲线起点、终点处切向量方向。曲线形状趋向于控制多边形形状。Bezier曲线Bezier曲线插值公式给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，…，n），则n次Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：其中，Pi为第i个控制点，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：参数曲线的矩阵表示：Bernstein调和函数Bernstein基函数的性质(I)正性：端点性质：权性：Bernst
3、ein基函数的性质(II)对称性：递推性：导函数：Bezier曲线的性质(I)端点性质：C(0)=P0;C(1)=Pn切矢量：t=0时，t=1时，Bezier曲线的性质(II)对称性：控制点位置不变次序颠倒构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。凸包性：当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。Bezier曲线C(t)上各点是控制点Pi的凸
4、线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。Bezier曲线的性质(II)几何不变性：这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择变差缩减性：若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。Bezier曲线的矩阵表示(I)一次
5、Bezier曲线两个控制点：P0,P1n=1,矩阵表示：一次Bezier曲线是连接起点和终点的直线段P0P1Bezier曲线的矩阵表示(II)二次Bezier曲线三个控制点：P0,P1，P2n=2,矩阵表示：起点、终点分别为P0和P2的抛物线C(0)=P0,C(1)=P2,C’(0)=2(P1-P0),C’(1)=2(P2-P1)Bezier曲线的矩阵表示(III)三次Bezier曲线四个控制点P0,P1,P2,P3n=3,矩阵表示Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(I)右图为
6、二次Bezier曲线（抛物线），根据抛物线三切线原理有：引入参数t，令上述比值为t:1-t,有：由控制点P0和P1决定的一次Bezier曲线由控制点P1和P2决定的一次Bezier曲线（1）（2）（3）Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(II)(1)和(2)带入(3)得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。由于。这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲
7、线的线性组合。Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(III)二次Bezier曲线可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合。由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezie
8、r曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：一次Bezier曲线的生成二次Bezier曲线的生成三次Bezier曲线的生成四次Bezier曲线的生成Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(IV)由此得到Bezier曲线的递推计算公式：Pi0是第i个控制点PiP0n是n次Bezier曲线上的点用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点C(t)非常有效。Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(V)例子：n=3时，用deCasteljeu算法求3次Bezier曲线上
