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《高等数学上册 教学课件 作者 蒋国强第3章D3_4单调性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节一、函数单调性的判定法函数的单调性和极值第三章机动目录上页下页返回结束三、最大值与最小值问题二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕机动目录上页下页返回结束例1.确定函数的单调性机动目录上页下页返回结束xyo解:故为单调递增函数。在上例2.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束的单调区间。令，解得驻点单增区间：，单减区间：例3确定函数解：定义域为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间
2、的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束单调区间的分界点驻点或不可导点例4．当时，证明不等式：证：令，则，从而函数在上单调增加.由当时,，得当时，机动目录上页下页返回结束利用单调性证明不等式的步骤：（1）确定函数的单调性（2）验证起点或终点处的函数值机动目录上页下页返回结束二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点；机动目录上页下页返回结束极大值与极小值统
3、称为极值.注意:为极大点；为极小点；不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为0或导数不存在的点.1)函数的极值是一种局部性概念2)可能出现极大值<极小值的情形3)端点不能成为极值点机动目录上页下页返回结束定理1(可导函数取得极值的必要条件)取得极值,设函数在点处可导，且在点处则必有可导函数的极值点驻点不可导点也可能成为函数的极值点极值嫌疑点驻点不可导点机动目录上页下页返回结束定理2(判定极值的第一充分条件)且在空心邻域内有导数,机动目录上页下页返回结束(1)如果时，，而时，(2)如果时，，而时，（1）求函数的导数求函数极值的步骤：（2）求极值嫌疑点（3）
4、对每个极值嫌疑点，判定是否成为极值点（4）求极值点处的函数值即为极值机动目录上页下页返回结束例5.求函数的极值.解:令得令得是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2(判定极值的第二充分条件)处具有二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.机动目录上页下页返回结束例6.求函数的极值.解:令得驻点因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束例7．设，当满足什么条件时，函数没有极值。因为可导，所以极值点必须是驻点.，即当时，方程无实根，表明没有驻点，从而函数无极值。解：令机动目录上页下页返回结束三、最大值与最小值
5、问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)机动目录上页下页返回结束例8.求函数在闭上的最大值和最小值.解:显然且区间机动目录上页下页返回结束故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束(k为某一常数)例9.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如
6、何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动目录上页下页返回结束求最值应用题的步骤：（2）求目标函数的最值（1）建立目标函数（往往是唯一驻点的情形）机动目录上页下页返回结束例10．生产件产品的总成本为（2）若每件产品以500元出售（且能完全出售），（1）生产多少件产品时可使平均成本最小？生产多少件产品时可使利润最大？机动目录上页下页返回结束令,得唯一驻点解：（1）设产品件数为，平均成本为，则使函数取极小值，件产品时可使平均成本最小。即生产机动目录上页下页返回结束
7、，利润为，则，令得唯一驻点（2）设产品件数为使函数取极大值件产品时可使利润最大。即生产机动目录上页下页返回结束例11．有一T型通道，分别记为A、B，已知A通道宽3米，B通道宽2米，今有一根8米长的钢管由A通道水平抬至B通道，问能否实现？钢管在移动过程中的状态，类，随着角的变化，的长度，A通道水平抬至B通道，解：似于图中所示直线段中最短直线段如果大于8米长，则8米长的钢管就能从否则就不能实现。问题可表述为求中最短的长度。直线段机动目录上页下页返回结束，得，驻点当时，，而最短线段长一定存在，即8米长的钢管不能由A通道水平抬至B通道。令与通道壁的夹角为设，则线段
8、的长为所以机动目录上页下页返回结束作业P1041(3,4);2(3
