高等数学 教学课件 作者 胡耀胜第四章4.2　换元积分法.ppt

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1、一、第一换元法(或称凑微分法)第四章　不定积分换元积分法二、第二换元法1．第一换元积分法(凑微分法)直接验证得知,计算方法正确．，我们可以把原积分作下列变形后计算：换和计算：一、换元积分法还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：可一般化为下列计算程序：下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．例3求解对照基本积分表，如果把dx写成了d(3x+2)，那么就可用定理1及为此将dx写成代入式中，那么令3x+2=u则a,b均为常数，且a0.例4求解上式与基本积分表中相似，为此将dx写成那么令4x+5=u，例5求解上式与基本积分表中为此将dx=d(x+1)代入

2、式中，那么例6求(a>0常数).解上式与基本积分表例7求(a>0常数).解等等.例8求解将被积分式中的xdx因子凑微分，则即例9求解凑微分，即则例12求解解例13求例14求解3.利用三角函数的恒等式.例15求解类似得例16求解例17求解例18求解例19求解4.利用代数恒等式例20求(a>0常数).解例21求解例22求解例23求解类似得例24求下列积分：解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形．本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果．２．第二换元积分法1.简单根式代换例26求解为了去掉被积函数中的根号，则dx=2td

3、t，于是有回代变量，得例28求解被积函数含根式为了去掉根号，于是有则dx=4t3dt，回代变量，得例29求解为了去掉被积函数中的根号，于是有2.三角代换例30求于是有解≤≤则dx=acostdt，把变量t换为x.为简便起见，画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.于是有xat例31求解则dx=asec2tdt，于是有作辅助三角形，得axt其中C=C1-lna.例32求解令x=asect，则dx=asecttantdt，于是有作辅助三角形，axt得其中C=C1–lna.一般地说，当被积函数含有例33求解法一　三角代换法.令x=tant，于是得则dx=

4、sec2tdt，根据tant=x，作辅助三角形，得1xt=ln

5、csct–cott

6、+C解法二　凑微分法.于是有例34求解