几何与代数_lec15-向量组的极大无关组和秩.ppt

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1、几何与代数主讲:关秀翠东南大学数学系2010年国家级精品课程教学内容和学时分配第四章n维向量教学内容学时数§4.1n维向量空间2§4.2向量组的线性相关性4§4.3子空间的基和维数2§4.4向量的内积2§4.5线性方程组的解的结构2§4.7用Matlab解题1思考题请定义{调味品集合(含这7种成分)}的1.线性组合、线性表示、两集合的等价、线性相关2.线性相关、线性无关并说明其性质请定义{调味品集合(含这7种成分)}的1.线性组合、线性表示、两集合的等价、线性相关2.线性相关、线性无关并说明其性质线性组合：取一定量的调味品将其

2、混合在一起线性表示：若一个调味品可以由一些调味品混合而成，则称其可由这组调味品线性表示；调味品集A,B等价：若A中调味品都可由B中调味品混合而成，B中调味品都可由A中调味品混合而成.调味品集A可由调味品集B线性表示：若A中任意一个调味品都可由B中某些调味品混合而成；调味品集A线性相关：若A中存在一个调味品可由A中其他调味品混合而成.调味品集A线性无关：若A中任何一个调味品都不能由A中其他调味品混合而成.调味品集A线性相关：若A中存在一个调味品可由A中其他调味品混合而成.调味品集A线性无关：若A中任何一个调味品都不能由A中其他调

3、味品混合而成.唯一表示定理:Il.i.,{I,}l.d.可由I唯一线性表示.Th4.3大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.调味品集A线性无关，{A,}线性相关,则调味品一定可由调味品集A中的某些调味品混合而成，而且这种混合方式是唯一的。设两个调味品集A,B满足

4、A

5、>

6、B

7、，若A中每种调味品都可由B中某些调味品混合而成，则A中必存在某个调味品可由A中其他调味品混合而成。调味品集的线性相关与线性无关如果想做一个适合自己口味的调味品，至少要选择哪几种基本调味品呢？(能让每个人都能做)调味品集的线性相关与线性无关调

8、味品集A线性相关：若A中存在一个调味品可由A中其他调味品混合而成.调味品集A线性无关：若A中任何一个调味品都不能由A中其他调味品混合而成.这样的基本调味品集唯一吗？不同的基本调味品集含有调味品的种类数一样多吗？如何寻找这样的基本调味品集呢吗？问题式预习1.什么是向量组的极大无关组和秩？2.向量组等价关系下的不变量和最简形是什么？3.向量组的秩有哪些性质？4.如何求一个向量组的极大无关组？调味品集简化模型A1A2A3A4A5油12101盐12210醋24311辣12210如果想做一个适合自己口味的调味品，至少要选择哪几种基本调味

9、品呢？(能让每个人都能做)这样的基本调味品集唯一吗？不同的基本调味品集含有调味品的种类数一样多吗？如何寻找这样的基本调味品集呢吗？A2=2A1,A4=A1+A3，A5=2A1A3基本调味品集:{A1,}{A2,}A3A3{A4,}A5No.A1=.5A2,A4=.5A2+A3,A5=A2A3A1=A4+A5,A2=2A4+2A5,A3=2A4+A5符合实际的:设向量组I:1,2,3,4,5线性相关.比如2能由其余的线性表示设1,3,4,5线性相关去掉4仍与I等价设2,3,5线性无关去掉2仍

10、与I等价比如4能由其余的线性表示第四章n维向量§4.2线性组的线性相关性问题：能否找到一个尽可能小的子集来代表I呢？等价一个不能少代表：与原向量组等价的一个部分向量组，且是一个含有向量最多的线性无关的向量组。“最多的线性无关组”的衡量：将其他任意一个向量加进来就变成线性相关的了二.向量组的极大无关组和秩定义1部分组I0I为I的一个极大(线性)无关组,如果(i)向量组I0是线性无关的;(ii)I中任一向量都可由I0线性表示.如果(i)向量组I0是线性无关的;(ii)II0,{I0,}都线性相关.定义2部分组I0I

11、为I的一个极大(线性)无关组,例5.求的极大无关组.解:I0={1,2}或者{2,3}或者{1,3}第四章n维向量§4.2线性组的线性相关性二.向量组的极大无关组定义1部分组I0I为I的一个极大(线性)无关组,(ii)I中任一向量都可由I0线性表示.如果(i)向量组I0是线性无关的;(ii)II0,{I0,}都线性相关.注1:向量组的极大无关组不是唯一的.注2:任意极大无关组都与原向量组等价.第四章n维向量§4.2线性组的线性相关性定理4.4向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.注3:任意两个

12、极大无关组都等价.极大无关组I0中向量的个数称为向量组I的秩.记为秩(I)或r(I).注1:定义3注2:注3:在3维几何空间中，注4:第四章n维向量§4.2线性组的线性相关性共面但有不共线向量共线且有非零向量基本调味品集——极大无关组A1A2A3A4A5油12101盐1221