压缩感知理论与应用(附重建算法详述).ppt

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1、压缩感知理论与应用Compressedsensing:theoremandApplications一.压缩感知背景知识二.压缩感知理论三.压缩感知重建方法四.压缩感知应用内容概览一.压缩感知背景知识Nyquist-Shannon采样定理1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理1949年信息论的创始人香农对该定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理HarryNyquistClaudeShannon插值重建数字信号的获取----Nyquist-Shannon采样定理信号采样非带限信号香

2、农定理的数学表示香农采样定理后采样理论的发展Nyquist-Shannon采样定理局限性问题1:真实信号没有真正带限的；问题2:理想的低通滤波器不存在；获取的大量数字信号为处理、存储、传输的软硬件增加了很多负担高分辨率大量的传感器图像数据库，照相阵列，分布式无线传感网越来越多的成像形式X-Ray，GammaRay,PET，MRI,红外，超声波，毫米波SAR成像海量的数据问题3:当信号的带宽过宽时，采样率过高难于实现限制了超宽带通信和超宽带雷达的发展；限制医学图像成像的发展，比如MRI；等等。多种成像形式采样压缩传输/存储NK小波系数局部放大大量采样数据有无必要性？1M25K项系数

3、近似原始图像近似后的图像2004~2006，ECandes（加州理工大学）D.Donoho(斯坦福大学)（Ridgelet和Curvelet的创始人）一种新的采样方法以不确定准则为基础Romberg(佐治亚理工大学)Tao（加州大学洛杉矶分校）CS提出者用更一般的测量值代替信号样本值压缩感知或压缩采样直接获取压缩后的信号；压缩采样传输/存储NM接收重建二.压缩感知理论2.1压缩感知问题描述三种线性方程组根据变量个数和方程个数来确定是欠定、适定还是超定方程组欠定方程组，无穷多解适定方程组，有唯一解超定方程组，无解良态问题1923年Hadamard提出了良态问题（Well-posed

4、problem）的概念，根据其定义，如果下述条件满足，称为良态问题（1）方程的解是存在的；（2）解是唯一的；（3）解连续地依赖于数据（观测矩阵或数据微小变化导致解很大变动）病态问题如果良态问题的三个条件任意一个不能满足，就称问题是病态的（ill-posedproblem）良态与病态问题：病态问题举例系数矩阵A或者观测项(常数项)y的微小变化引起解的巨大变化,该问题为病态问题病态问题求解：用规整化（Regularization）理论处理病态问题目的是修改一个病态问题为一个良态问题，使得问题的解在物理上合理，并且解连续依赖于数据。基本思想是利用关于解的先验知识，构造附加约束或改变求解

5、策略，使得逆问题的解变得确定且稳定。即对解进行约束J(x)约束信号x为平滑的应用Lagrange乘子，将P2问题约束转换为无约束问题2.如何设计测量矩阵，让其作用于信号后能保持信号的所有信息不丢失？（对应于香农采样定理中对采样率的要求）3.如何从测量中重建原信号？（对应依据香农采样定理采样后内插实现重建）信号应满足什么要求，方可重建？（对应香农采样定理中对信号的带宽要求）CS关注的问题信号表示将信号表示为一组正交基的线性组合如果合理选择基底，处理系数序列比直接处理信号简单；如果系数序列具有稀疏结构，可以从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。二.压缩采样理论2.2信号的稀疏与可

6、压缩性信号的稀疏（Sparsity）与可压缩性(Compressibility)光滑信号其Fourier变换,Wavelet变换系数呈现幂次衰减趋势其全变差（TotalVariation）呈现幂次衰减趋势有界变差函数给定一个定义于有界开集Ω上的可微函数f，其全变差（thetotalvariation）为对于图像x而言，其TV范数为Cameraman原图4层小波分解傅里叶幅频MRI图像4层小波分解傅里叶幅频原图垂直水平全变差根据信号x的先验知识，可以设计规整化项为R2空间，一维子空间用lp范数进行约束的解2.3.1不确定原理（测不准原理UncertaintyPrinciple,UP

7、）物理学中经典的测不准原理两个共轭的物理量，如微观粒子的位置和动量，不能同时测准，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大2.3测量离散时间不确定准则（DiscreteTimeUncertaintyPrinciple）注：集的势：集合元素的个数2.3.2部分Fourier变换已知的信号重建与RobustUncertaintyPrinciplesCS提出的最初研究：2004年，EmmanuelCandes,JustinRomberg和TerenceTao对以下问题进行了研究MR