资源描述:
《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义[A级 基础巩固]一、选择题1.在△ABC中,设=a,=b,且
2、a
3、=2,
4、b
5、=1,a·b=-1,则
6、
7、=( )A.1B.C.D.解析:因为
8、
9、=
10、+
11、,所以
12、
13、===,选C.答案:C2.设向量a,b满足
14、a+b
15、=,
16、a-b
17、=,则a·b=( )A.1 B.2 C.3 D.5解析:因为
18、a+b
19、2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=10,
20、a-b
21、2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6,两式相减得:4a·b=4,所以a·b=1.答案:A3.已知
22、向量a,b满足
23、a
24、=2,
25、b
26、=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为( )A. B. C. D.解析:
27、a-b
28、===,设向量a与a-b的夹角为θ,则cosθ===,又θ∈[0,π],所以θ=.答案:A4.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是( )A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形解析:因为=,即一组对边平行且相等,·=0,即对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.答案:B5.若向量a与b的夹角为60°,
29、b
30、=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为(
31、 )5A.2 B.4 C.6 D.12解析:因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b=6b2=
32、a
33、2-
34、a
35、·
36、b
37、cos60°-6
38、b
39、2=
40、a
41、2-2
42、a
43、-96=-72,所以
44、a
45、2-2
46、a
47、-24=0,所以
48、a
49、=6.答案:C二、填空题6.在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ACB=,D是BC的中点,则在方向上的正射影数量是________.解析:如图所示,作向量=,则与的夹角为∠ABE=π-=,所以在方向上的正射影的数量为
50、
51、·cos=2×=-.答案:-7.如图,在四边形ABCD中
52、,
53、
54、=4,·=12,E为AC的中点,若=2,则·=________.解析:因为
55、
56、=4,E是AC的中点,所以AE=CE=2.·=(+)·(+)=2-2=2-22=12⇒2=16⇒2=4,所以·=(+)·(+)=2-2=4-4=0.答案:08.已知
57、a
58、=
59、b
60、=
61、c
62、=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a与b的夹角为60°,则实数m=________.解析:因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c,所以(3a+mb)2=(-7c)2,化简得9+m2+6ma·b=49.5又a·b=
63、a
64、
65、b
66、cos60°=
67、,所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.答案:-8或5三、解答题9.已知
68、a
69、=1,
70、b
71、=,(1)若a∥b且同向,求a·b;(2)若向量a·b的夹角为135°,求
72、a+b
73、.解:(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°,此时a·b=
74、a
75、
76、b
77、=.(2)
78、a+b
79、====1.10.设向量a,b满足
80、a
81、=
82、b
83、=1,
84、3a-b
85、=.(1)求
86、a+3b
87、的值;(2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值.解:(1)由
88、3a-b
89、=,得(3a-b)2=5,所以9a2-6a·b+b2=5.因为a2=
90、a
91、2=1,b2=
92、
93、b2
94、=1,所以9-6a·b+1=5.所以a·b=.所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×+9×1=15.所以
95、a+3b
96、=.(2)设3a-b与a+3b的夹角为θ.因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b2=3×1+8×-3×1=.所以cosθ===.因为0°≤θ≤180°,所以sinθ===.所以3a-b与a+3b夹角的正弦值为.5B级 能力提升1.点O是△ABC所在平面上一点,且满足·=·=·,则点O是△ABC的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心解析:因为·=·,所以·(-)=
97、0,即·=0,则⊥.同理⊥,⊥.所以O是△ABC的垂心.答案:B2.如图所示,△ABC中∠C=90°且AC=BC=4,点M满足=3,则·=________.解析:·=·=·=(-)·==4.答案:43.如图,在▱ABCD中,
98、
99、=4,
100、
101、=3,∠DAB=60°,求:(1)·;(2)·;(3)·;(4)在方向上的正射影.5解:(1)因为∥,且方向相同,所以与的夹角是0°,所以·=
102、
103、
104、
105、·cos0°=3×3×1=9.(2)因为∥,且方向相反,所以与的夹角是180°,所以·=
106、
107、
108、
109、·cos180°=4×4×(-1)=-
110、16.(3)因为与的夹角为60°,所以与的夹角为120°,所以·=
111、
112、
113、·cos120°=4×3×=-6.(4)因为与的夹角为60°,而与方向相反,所以与的夹角为120°,所以在方向上的正射影为
114、
115、·cos120°=4×=-2.5