就得到四阶龙格库塔法.ppt

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1、第二章系统的数学模型与仿真算法数学模型系统的分析和设计中有着相当重要的地位，也是计算机仿真的基础。2.12.1.1、系统的分类连续系统：系统中的变量（物理量）随时间连续变化。离散系统：系统中的变量（物理量）随时间断续变化。如计算机控制系统。我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。线性系统满足叠加性和齐次性。1.微分方程建立的一般步骤采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：（1）确定系统或元部件的输入、输出变量。（2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或

2、元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。（4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。（5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。2.1.2描述控制系统常用的数学模型1、微分方程形式2、传递函数形式3、状态空间表达式一阶微分方程组2.1.2描述控制系统常用的数学模型4、零极点增益形式模型转换：掌握：1、传递函数模型转换为状态空间模型2、结构图形

3、式转换为状态空间模型例如：2.1.2描述控制系统常用的数学模型例：2-3-2欧拉法（Eulermethod）由以上推导得欧拉递推公式：h为步长二、泰勒展开x(t)取前两项，舍去高次项，写成差分方程得欧拉递推公式：2-3-2欧拉法（Eulermethod）三、截断误差欧拉法是由泰勒级数截断h2以上的高阶项而得到的，把截断项称为截断误差。欧拉法的截断误差与h2同为一个数量级，具有一阶精度。当h减小时,截断误差会减少。（注：截断误差为o（hp+1)时，称为具有p阶精度）例：用欧拉法求解下面微分方程，取h=0.2欧拉法数值解

4、：精确解：1.000000000000001.000000000000001.000000000000000.960789439152320.920000000000000.852143788966210.772800000000000.697676326071030.587328000000000.527292424043050.399383040000000.367879441171440.239629824000000.236927758682122-3-3梯形法（RK2）用梯形面积代替曲边梯形的面积。其中k2

5、是有欧拉法估计得到。2-3-4四阶龙格库塔法（thefourth-orderRunge-KuttaMethod)K1,K2,K3,K4,称为四阶龙格库塔系数。四阶龙格库塔法取了泰勒级数的前五项之和得到，截断误差O（h5),具有四阶精度多取几个点，然后将其斜率加权平均得一等效斜率，就得到四阶龙格库塔法。2-3-5几种数值积分法的分析1、xn+1=xn+步长*各点斜率的加权平均2、精度取决于步长h及阶次p。3、本次计算只用到前一次的计算结果，属单步法。单步法优点：占用存贮空间少，能自启动（从初值），可变步长。2-3数值

6、积分法的稳定性一、起源数值积分法是一种近似的求解微分方程的方法。在反复的递推运算中将引入误差，若误差的积累越来越大，将使一个原本稳定的系统，得到的仿真结果却不稳定。例如：有一个微分方程其解析解：欧拉法的递推公式为：2-3数值积分法的稳定性可见：当

7、1-30h

8、>1时，递推结果将是发散的。当0

9、适应，则不能保证其绝对稳定性。其中，为一复数，=+j<0,（即原系统稳定）2-3数值积分法的稳定性三、用测试方程考察欧拉法的稳定性当

10、1+h

11、<=1时，计算稳定。2、求其稳定边界设h=x+jy,由

12、1+h

13、<=1得:

14、1+x+jy

15、<=1稳定边界为：(1+x)2+y2=1当为负实数时，步长的稳定区间为：0

16、2/

17、2-3数值积分法的稳定性四、龙格库塔法的计算稳定性1、RK22、RK42-4数值积分法的选择原则从精度、速度、稳定性三个角度考虑一、计算精度数值积分存在两种误差。1、截断误差：舍去泰

18、勒级数的高阶项形成的。p截断误差h截断误差2、舍入误差由于计算机的字长有限引起的，会随着计算次数的增加而积累。p计算量舍入误差h计算量舍入误差2-4数值积分法的选择原则如右图示，两种误差对步长的要求是矛盾的，最好选择在h0附近。一般情况下选：Tmin/20<=h<=Tmin/5系统响应快的，步长要小。二、计算速度h计算速度