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1、流场流体运动所占据的空间称为流场。用欧拉法描述的流体质点运动，其流速、压强等函数定义在时间和空间点坐标场上的流速场、压强场等的统称。定义某一时刻气流的空间分布。速度场是由每一时刻、每一点上的速度矢量组成的物理场。以流体为例，速度场是指流体流动前沿的矢量速度分布。空间中所有各点在同一时刻的流体速度矢量分布状态。流线任一时刻流体的速度在空间上是连续分布的，如果t时刻空间一条曲线在该曲线上任何一点A上的切线和A点处流体质点的速度方向相同，则称这条曲线为时刻t的流线。流线是同一时刻不同流体质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的速度方向。迹线
2、是流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线。流线的几点性质1.在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，称为流线簇。流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中速度的不同。2.当为非定常流时，流线的形状随时间改变：对于定常流，流线的形状和位置不随时间而变化。3.定常流的流线和迹线重合。4.一般情况下，流线不能相交，不能折转，只能是一条光滑曲线。龙格库塔法龙格库塔法是一种高精度的单步算法。考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面
3、几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x)，在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理，有即7/28/20215引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法7/28/20216如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Run
4、ge-Kutta方法7/28/202179.4.2二阶龙格—库塔法在[xi,xi+1]上取两点xi和xi+a2=xi+a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即式中:K1为xi点处的切线斜率值K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)K2为xi+a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1，即可得确定系数c1、c2、a2、b21，可得到有2阶精度的算法格式7/28/20218因此将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开：将在x=xi处进行Taylor展开：7
5、/28/202192021/7/2810K1=hf(xi,yi)这里有4个未知数，3个方程。存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。令对应项的系数相等，得到7/28/202111注意到，就是二阶龙格-库塔公式，也就是改进的欧拉法。因此，凡满足条件式有一簇形如上式的计算格式，这些格式统称为二阶龙格—库塔格式。因此改进的欧拉格式是众多的二阶龙格—库塔法中的一种特殊格式。7/28/2021129.4.3三阶龙格—库塔法2021/7/2813为进一步提高精度，在区间[xi,xi+1]上除两点xi和xi+a2=xi+a2h,以外
6、，再增加一点xi+a3=xi+a3h，用这三点处的斜率值K1、K2和K3的加权平均得出平均斜率K*的近似值K，这时计算格式具有形式:同理推导二阶公式，将y(xi+1)和yi+1在x=xi处进行Taylor展开，使局部截断误差达到O(h4)，使对应项的系数相等，得到系数方程组：7/28/202114参数的选择不唯一，从而构成一类不同的三阶R-K公式，下面给出一种常用的三阶R-K公式，形似simpson公式：7/28/2021159.4.4四阶(经典)龙格—库塔法如果需要再提高精度，用类似上述的处理方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点
7、处的斜率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是O(h5)。推导过程与前面类似，由于过程复杂，这里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格—库塔公式。7/28/202116K1=hf(xi,yi)K2=hf(xi+a2h,yi+b21K1)K3=hf(xi+a3h,yi+b31K1+b32K2)K4=hf(xi+a4h,yi+b41K1+b42K2+b43K3)其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均为待定系数。这里K1、K2、K3、K
8、4为四个不同点上的函数值，分别设其为设yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K47/28/202117类似于前面的讨论，把K2、K3、K4分别在xi点展成h的幂级数，代入线性组合式
