理学高等数学课件——amp定积分概念性质.ppt

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1、7.1&.7.2定积分的概念和性质第一部分定积分的概念实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoy=f(x)如图：设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续,由直线x=a,x=b,y=0,及曲线y=f(x)所围成的图形,称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.baxyobaxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积

2、和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

3、观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．(1)已知矩形面积＝高×底将[a,b]分成n个小区间,称为子区间.过每个分点作平行于y轴的直

4、线段,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,0xyaby=f(x)记分点为(2)在每个小区[xi-1,xi]上任取一点i小曲边梯形面积长度(3)曲边梯形面积将[a,b]分得越细,近似公式越精确.于是:思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．实例2.变速直线运动的路程.设某物体作变速直线运动.已知速度V=V(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数.计算在这段时间内物体所经过的路程S.(1)区间分划

5、在[T1,T2]内任意插入若干个分点将[T1,T2]分成n个小段[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn](2)求近似:在每个子区间[ti-1,ti]上任取一点i由时刻ti-1到时刻ti走过的路程为Si(3)作和:总路程将时间间隔[ti-1,ti]分得越细,近似公式越精确.于是:上述两个问题,尽管背景不同,意义不同,但其实质都是计算一种和式的极限,事实上,就是求给定函数的定积分.总之:二、定积分定义1.定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,将[a,b]任意分成n个子区间,分点为

6、在每个子区间[xi-1,xi]上任取一点i,i[xi-1,xi],函数f(x)在[a,b]上的定积分.记成则称函数f(x)在[a,b]上可积,这个极限值就称为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，注意：(2)注意在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间上点的取法无关；定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有定理1定理2定理3问题:三、积分存在定理（可积的充分条

7、件）boxya(1)若当x[a,b]时,Ay=f(x)连续函数f(x)0四、定积分的几何意义(2)若当x[a,b]时,连续函数oxyaby=f(x)Af(x)0,oxy一般，曲边梯形的面积；而的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。abA1A2A3A4++(3)若当x[a,b]时,连续函数f(x)既取得正值,又取得负值时其中Ai表示第部分图形的面积.例1由定积分的几何意义可得：xyOaxyO例1由定积分的几何意义，指出下列积分的值。a-axyO例1由定积分的几何意义可得：－xOy例1由

8、定积分的几何意义可得：0xy=x2y解:因为y=x2在[0,1]上连续,定积分存在,将区间[0,1]等分成n等份,分点为例2于是例3.用定积分表示下列极限:解:例4将和式极限表示成定积分.解：原式第二部分定积分的性质对定积分的补充规定:（3）定积分与积分区间和被积函数有关，而与积分变量无关。即性质1:设f(x)、g(x)在[a,b]上可积,则f(x)g(x)在[a,b]可积,且证:推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积定分的代数和，即性质1可以推广到有限多个函数的情形性质2:设f(x)在