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时间:2020-03-03
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1、转化法在解直角三角形中的应用在中考数学中,解直角三角形是一个非常重要的考点。下面就向同学们介绍转化法在解直角三角形中的应用,供同学们学习时参考。1、等线段转化法例1、如图1所示,点P在⊙O的直径BA的延长线上,AB=2PA,PC切⊙O于点C,连结BC。求的正弦值解析:连结OC,因为,PC切⊙O于点C,所以,PC⊥OC,所以,在直角三角形POC中,sinp=,因为,AB是圆的直径,所以,AB=2OA,因为,AB=2PA,所以,PA=OA=OC,所以,PO=PA+OA=2OC,所以,sinp===.评注:在求角的三角函数值时,利用线段的等量代换,把不需要的量用相等的量替换,
2、从而达到约分的目的,也就求得问题的答案了。2、等比转化法例2、如图2所示,已知AB是半圆O的直径,弦AD和弦BC相交于点P,如果AB=5,CD=3,求cos∠BPD的值。解析:如图3所示,连接BD,因为,AB是圆的直径,所以,∠ADB=90°,在直角三角形BPD中,cos∠BPD=,因为,∠C=∠A,∠D=∠PBA,所以,△CPD∽△APB,所以,=,因为,AB=5,CD=3,所以,cos∠BPD===。评注:利用直径上的圆周角是直角,构造直角三角形,后借助三角形的相似,把线段的比转化成已知线段的比。3、等角转化法例3、如图4所示,已知是⊙O的直径,弦,,,那么的值是.
3、解析:因为,∠ABD和∠ACD是同弧上的圆周角,所以,∠ABD=∠ACD;因为,是⊙O的直径,所以,∠ACB=90°,因为,弦,所以,∠AEC==90°,所以,∠ACD=∠ABC,所以,∠ABD=∠ABC,在直角三角形ABC中,因为,AB=3,所以,sin∠ABC==,所以,sin∠ABD=。评注:求一个角的三角函数值时,求与这个角相等角的三角函数值,是解决这类问题的一条基本思路。4、高线转化法例4、如图5-(1)所示,由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,得=bc·sin∠A.①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.如图5-(2)所示,在⊿ABC中,
4、CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β.∵,由公式①,得AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ,即AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ.②你能利用直角三角形边角关系,消去②中的AC、BC、CD吗?不能,说明理由;能,写出解决过程.解析:能。因为,CD⊥AB于D,所以,三角形ADC和三角形BDC都是直角三角形,在直角三角形ADC中,cosα=,所以,AC=;在直角三角形BDC中,cosβ=,所以,BC=;AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ.所以,××sin(α+
5、β)=×CD×sinα+×CD×sinβ.整理,得:sin(α+β)=cosβsinα+cosαsinβ。评注:当三角形是一般的三角形时,常通过作三角形的一条高,把一般的三角形转化成直角三角形,这也是求三角函数值的一种基本思路。5、转化成直角三角形法例5、如图6所示,在平地上种植树时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.5的山坡上种植树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离约为()A.4.5mB.4.6mC.6mD.8m解析:设斜面上相邻两树在斜面上的触点分别为A和C,过A作与水平线平行的直线,过C作与水平线垂直的直线,设两条直线相交于点B,根
6、据题意,知道:AB=4,=,所以,BC=2,所以,AC==≈4.5米,所以,两棵树的坡面距离约为4.5米,因此,选择A。评注:在解答时,有时需要自己作辅助线构造直角三角形,这也是解直角三角形的基本思路之一。
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