转化法在解直角三角形中的应用.doc

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1、转化法在解直角三角形中的应用在中考数学中，解直角三角形是一个非常重要的考点。下面就向同学们介绍转化法在解直角三角形中的应用，供同学们学习时参考。1、等线段转化法例1、如图1所示，点P在⊙O的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切⊙O于点C，连结BC。求的正弦值解析：连结OC，因为，PC切⊙O于点C，所以，PC⊥OC,所以，在直角三角形POC中，sinp=,因为，AB是圆的直径，所以，AB=2OA,因为，AB=2PA，所以，PA=OA=OC，所以，PO=PA+OA=2OC,所以，sinp===.评注：在求角的三角函数值时，利用线段的等量代换，把不需要的量用相等的量替换，

2、从而达到约分的目的，也就求得问题的答案了。2、等比转化法例2、如图2所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD和弦BC相交于点P，如果AB=5,CD=3，求cos∠BPD的值。解析：如图3所示，连接BD，因为，AB是圆的直径，所以，∠ADB=90°，在直角三角形BPD中，cos∠BPD=,因为，∠C=∠A，∠D=∠PBA,所以，△CPD∽△APB,所以，=,因为，AB=5,CD=3，所以，cos∠BPD===。评注：利用直径上的圆周角是直角，构造直角三角形，后借助三角形的相似，把线段的比转化成已知线段的比。3、等角转化法例3、如图4所示，已知是⊙O的直径，弦，，，那么的值是．

3、解析：因为，∠ABD和∠ACD是同弧上的圆周角，所以，∠ABD=∠ACD；因为，是⊙O的直径，所以，∠ACB=90°，因为，弦，所以，∠AEC==90°，所以，∠ACD=∠ABC,所以，∠ABD=∠ABC，在直角三角形ABC中，因为，AB=3,所以，sin∠ABC==，所以，sin∠ABD=。评注：求一个角的三角函数值时，求与这个角相等角的三角函数值，是解决这类问题的一条基本思路。4、高线转化法例4、如图5-（1）所示，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得=bc·sin∠A．①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．如图5-（2）所示，在⊿ABC中，

4、CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．∵，由公式①，得AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ，即AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ．②你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．解析：能。因为，CD⊥AB于D，所以，三角形ADC和三角形BDC都是直角三角形，在直角三角形ADC中，cosα=，所以，AC=；在直角三角形BDC中，cosβ=，所以，BC=；AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ．所以，××sin(α+

5、β)=×CD×sinα+×CD×sinβ．整理，得：sin(α+β)=cosβsinα+cosαsinβ。评注：当三角形是一般的三角形时，常通过作三角形的一条高，把一般的三角形转化成直角三角形，这也是求三角函数值的一种基本思路。5、转化成直角三角形法例5、如图6所示，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A．4.5mB．4.6mC．6mD．8m解析：设斜面上相邻两树在斜面上的触点分别为A和C，过A作与水平线平行的直线，过C作与水平线垂直的直线，设两条直线相交于点B，根

6、据题意，知道：AB=4，=，所以，BC=2,所以，AC==≈4.5米，所以，两棵树的坡面距离约为4.5米，因此，选择A。评注：在解答时，有时需要自己作辅助线构造直角三角形，这也是解直角三角形的基本思路之一。