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1、一元二次方程的根与系数的关系韦达平昌县得胜中学任璟一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac≥0)方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3-4-4-1-21若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则..计算并填空X1+x2=+==-X1x2=●===证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2
2、=,x1x2=-注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写。如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=.－Pq一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-说一说：例1、已
3、知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解法一：设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得2＋x2=k+12x2=3k解这方程组，得x2=－3k=－2答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.求一元二次方程的待定系数要验证判别式例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x2.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数的关系，得2x2＝3k即2x2＝－6∴x2＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.求一元二次方程的待定系数要验证判别
4、式例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);;(4).另外几种常见的求值:1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：设方程的另一个根为x2,则x2+1=,∴x2=,又x2●1=,∴m=3x2=16解：由根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=试一试：求一元二次方程的待定系数要验证判别式411412则：＝＝求与方程的根有关的代数式
5、的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.4.已知方程 的两个实数根是且，求k的值.解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x22=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0∵△=K2-4k-8当k=4时，△=-8＜0∴k=4(舍去）当k=-2时，△=4＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2探究：求一元二次方程的待定系数要验证判别式6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m
6、的值.求一元二次方程的待定系数要验证判别式6.（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2,且│x1－x2│=2,求k的值.2、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关系？小结：17.4一元二次方程的根与系数的关系（第二课时）下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴.X2－3X+1=0⑵.3X2－2X=2⑶.2X2+3X=0⑷.3X2=1基本知识在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵
7、在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写.练习1已知关于x的方程当m=时,此方程的两根互为相反数.当m=时,此方程的两根互为倒数.－11分析:1.2.练习2设的两个实数根为则:的值为()A.1B.－1C.D.A练习三以为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:二、 已知两根求作新的方程练习:1.以2和－３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：题5以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（）A、y2＋3y-5=0B、y2－3y-5=0C、y2＋3y＋5=0D、y2－3y＋5=0B分析:设原方程两根为则:新方程的两根之和为新方程的两根之积为题6已知两个
8、数的和是1
