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1、求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。一、二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax+bx+c(a≠0)。2、顶点式：y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式：y=a(x－x)(x－x)(a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴
2、或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c(a≠0)依题意得：解这个方程组得：∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。解：
3、依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1(a≠0)又抛物线与轴交于点。∴a(0－4)－1=3∴a=∴这个二次函数的解析式为y=(x－4)－1，即y=x－2x+3。例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．分析：由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点．解设二次函数的解析式为再把点C（1，-3）的坐标代入，得－3＝a（1－2）（1＋1），点评：上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．练习1：1、已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．2、已知抛物线经过三点
4、A(2,-6),B(3,-8),C(6,10),求它的解析式。y=2x2－12x+103、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。4、已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．5、已知抛物线的顶点坐标为A(2,8),且经过点B(5,—1),求抛物线的解析式。y=—x2+4x+46、已知二次函数的图象与X轴交于A(－3,0),B(1,0),且经过点C(2,5),求抛物线的解析式.y=x2＋2x＋27、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点5，求这
5、条抛物线的解析式。y=(x－2)+1，即y=x－4x+5。四、发散思维，提升能力例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．思路启迪一已知对称轴是直线x＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．把A（3，－2），b（1，0）两点的坐标代入，得思路启迪二由对称轴是直线x＝3，且点A的横坐标是3，知点A（3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．思路启迪三由对称轴是直线x＝3，可得关于a、b的一个方程又知图象经过两定点，可设解析式为一般式。思路启迪四由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交
6、点，若能求出抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x＝3的对称点．则可设解析式为交点式．思路启迪五同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．点评：例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A（3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．注本题还可直接把A、B、B′三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值．例5已知二次函数的图象经过和两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．思路启迪已知抛物线与x轴的两个交点间的距
7、离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多．利用A、B两点的坐标可以确定两个方程，即根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，才能利用二次函数的一般式求得a、b、c的值．规范解法1因为抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的两个根方程的求根公式为即。两边平方，得规范解法2根据一元二次方程根与系数的关系，点评：以上变形方法应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处．练习2：1、已知抛物线经过两点A(—1,—3),B(1,5),且对称轴是直线x=2,求抛物线的解析式.y=—x2+4x+2已知二次
