求二次函数解析式几种常用方法

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1、求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：；（2）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点；（3）顶点式：，其中点为该二次函数的顶点。二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。例1、已知抛物线，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．解：根据题意得解之得所以抛物线为说明：用待定系数法求系数需要有三个独

2、立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。若知道二次函数与轴有两个交点，则相当于方程有两个不相等的实数根，从而，故二次函数可以表示为．例2、已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为．又∵该二次函数又过点（0，－3），∴．解得．因此，所求的二次函数解析式为，即．说明：在把函数与轴的两个交点坐标代入求值时，要注意正确处理两个括号内的符号

3、．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y=a(x-h)2+k(a¹0)例3、对称轴与y轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。解：设所求解析式为y=a(x-h)2+k，由已知得y=a(x+2)2-1a(1+2)2-1=0即(4)、已知二次函数的最值或对称轴，可设顶点式。①已知二次函数有最大或最小值，可设，再利用其它两个独立的条件确定。例4、二次函数的图象过(4，-3)点，且x=3时，二次函数有最大值-1，求此函数的解析式。解：由已知得，图象顶点坐标为(3，-1)，故可设，又∵二次函数的图象过(4，-3)点∴，易得最后可求得

4、y=-2x2+12x-19②已知对称轴方程可设再利用其它两个独立的条件确定。例5、抛物线经过点A(1，0)，B(2，3)，对称轴x=3，求此图象的函数解析式。解：由对称轴x=3，可设所求函数解析式为，又知抛物线经过点A(1，0)，B(2，3)，所以有，易得所以，即所求解析式为y=-x2+6x-5③图象经过点和，则其对称轴为；二次函数关系式可设为例6、一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。分析：解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，

5、这样又可以从抛物线的顶点式入手。解：抛物线经过点（）和，这条抛物线的对称轴是直线。设所求抛物线的解析式为。将点代入，得，解得。这条抛物线的解析式为，即。说明：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。④当二次函数的图象与x轴只有一个交点时，此时交点为抛物线的顶点，并且顶点的纵坐标为0，所以可设，再利用两个独立的条件求a和h。例7、已知二次函数的图象经过点，并且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式。分析：二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以可设，由题意知解得，所以所求函数的关系式为说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标、对称轴、函数的最大

6、（最小）值时，可设函数的解析式为的形式，给解题带来方便．三、利用对称性求二次函数的关系式。在直角坐标系中任一点P(a,b),它关于x轴对称点的坐标为，它关于y轴对称点的坐标为，它关于原点中心对称点的坐标为。例8、已知二次函数，求与该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式。分析：根据点(a,b),它关于y轴对称点的坐标为,则用-x替换上述关系式中的x可得所求抛物线关系式。则有，即所求关系式为。类似地可求得：与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为，即；与抛物线关于原点中心对称的抛物线的解析式为，即四、求与已知抛物线关于其顶点对称的二次函数的关系式。分析：求与已知抛物线关于其顶点对称的二次函

7、数时，它们的顶点相同、形状相同。唯一不同的是它们的开口方向不同。因此只须已知抛物线化为顶点式，然后将顶点式中的a必为-a,即可求得。例9、与抛物线的图象顶点相同，形状相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是什么？分析：所求二次函数与已知函数图象关于已知函数图象的顶点对称，由得所求二次函数的关系式为，即五、抓住二次函数图象的特征，求二次函数的关系式。与抛物线的开口方向一样，说明二次项系数a的符号一样；与二次函数的形状相同，说明二次项系数a的绝对值相等。例10、求顶点为，开