平面向量的坐标表示.doc

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1、第7章平面向量的坐标表示1.理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫的单位向量,的单位向量是；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：∥，规定零向量和任何向量平行；提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或

2、重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是长度相等方向相反的向量.2.向量的表示方法（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3．实数与向量的积：12实数与向量的积是一

3、个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，零向量，注意：.4．平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角．当θ＝0°时，与同向；当θ＝180°时，与反向；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若，则＝．（3）向量的数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影(θ是向量与的夹

4、角)．的几何意义是，数量等于模与在上的投影的积．（4）向量数量积的性质：设与都是非零向量，是单位向量，是与的夹角．当与同向时，＝；当与反向时，＝-,＝;⑸

5、

6、≤．（5）向量数量积的运算律：【提醒】（1）若则为锐角或者角若则为钝角或者角.（2）

7、

8、＝可以用来证明.（3）非零向量，夹角的计算公式：.(4)

9、

10、.12⑴＝；⑵＝＝⑶＝5.平面向量的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使=，、称为一组基底.6．向量的运算：（1）几何运算：提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两

11、个向量的首尾相接.可推广到（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；②向量的减法：用“三角形法则”：设，那么由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：．（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：；②实数与向量的积：；③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；④平面向量数量积：=；⑤向量的模：；7．向量的运算律：（1）交换律：，，=；(2)结合律：，；（3）分配律：，

12、，.8.向量平行(共线)的充要条件：(1)向量与非零向量共线的充要条件是；实数λ是唯一存在的，当与同向时，；当与异向时，；(2)若,，则．129．向量垂直的充要条件：=．向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若，则其重心的坐标为.②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；⑤是的外心；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.7.1向量的坐标表示及其运算例题精讲【例1】已知分别是△和△的重心，是

13、的中点，若A,B,C,D的坐标分别是，求点的坐标．12【例2】已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．过关演练1．已知，，若，则的值分别为_________．2．已知向量，，若，则_________．3．已知平行四边形的顶点、、，则顶点的坐标为_________．4．若向量，，则向量的坐标是_________．5．若，，且，则等于_________．6．若为的重心，则下列各向量中与共线的是（　　）A．　　　

14、　B．C．　　　D．7．