数形结合也有简繁之分.doc

《数形结合也有简繁之分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数形结合也有简繁之分文章来源：现代教育报·思维训练作者：谢生苗点击数：746更新时间：2007-3-18:22:06 华罗庚先生的“数形结合百般好”的思想，在中学数学的学习中已深入人心，但如何结合才能更好或最好地探究，还没有引起我们足够的重视，以致对许多数形结合问题的解决还缺少反思与优化. 数形结合的核心与灵魂是“结合”.解题时，由于观察与联想的视角不同，会出现不同的“结合”，“结合”得好就得到好的解题方法，“结合”得不好就使解题过程繁琐且易出错，“结合”的优劣反映出了我们的基础与能力，也反映出我们思维灵活性与

2、创造性的水平，“结合”的优化选择，应是数形结合法研究的重要一环.为便于说明，我们先看几例：【例1】已知方程mx=x+m有两个相异实根，求实数m的取值范围. 视角一：视方程mx=x+m两边的代数式为两个函数，分别画出函数y=mx，y=x+m的图象（如图1），由于两个函数中都含有m，故需进一步对m进行分类讨论，情况复杂.图1仅表示m>0时的示意图.  视角二：由m≠0，先将原方程变形，得x-1=x，再视方程x-1=x两边的代数式为两个函数，分别画出函数y=x-1，y=x的图象（如图2），由图易看出：  当0<<1或

3、-1<<0，即m<-1或m>1时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角三：用分离参数法，先将原方程化为=m. 分别作出函数y=，y=m的图象（如图3），由图易看出，当m<-1，m>1时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根.  视角四：用分离参数法，先将原方程化为. 当x>0时，得1-=，当x<0时，得-1-=. 分别作出函数y=，y=的图象（如图4），由图易看出，当0<<1或-1<<0，即当m>1或m<-1时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根.  可见，例1

4、的各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中的都含有m，因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m，而视角四中已不含m，所以这里以视角四为最理想. 【例2】已知函数f（x）=ax2+bx且2≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，求f（-2）的取值范围.这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等

5、，而众所周知的数形结合法是线性规划法. 这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在 2≤a+b≤4   ① 1≤a-b≤2   ② 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b的最大（小）值问题.约束条件2≤a+b≤4，1≤a-b≤2的解集是非空集，在坐标平面上表示的区域是由直线：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所围成的封闭图形（图5中的阴影部分）.  y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小，从图中易知当直线b=2a-y经过A（，），C（3，1）时截距分别为最小f（-2）=5和最大

6、f（-2）=10. 所以5≤f（-2）≤10. 其实还可有如下数形结合法：  要求f（-2）的取值范围，只要确定f（-2）的最大（小）值，即找到f（x）的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标，为此只要确定f（x）经过E、F时的函数表达式，由于f（x）=ax2+bx是经过原点（c=0）的抛物线系，所以只要再有两点就可确定，由已知2≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，知f（x）在x=1时的最高点B（1，4），最低点A（1，2），f（x）在x=-1时的最高点D（-1，2），最低点C（-1，1），（如图6），由

7、抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过O、B、D的图象C2，经过E点的图象就是经过O、A、C的图象C1，于是： 将B（1，4），D（-1，2）坐标代入f（x）=ax2+bx得  解得a=3，b=1. 故图象经过O、B、D的函数为C2∶f（x）=3x2+x，所以 fmax（-2）=10. 将A（1，2），C（-1，1）的坐标代入f（x）=ax2+bx得  故图象经过O、A、C的函数为C1∶f（x）=x2+x，fmin（-2）=5. 所以5≤f（-2）≤10.【例3】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B

8、=c+C=k，求证：aB+bC+cA