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1、哈尔滨师范大学学年论文题目数学中的归纳法学生王旭学号2005025669指导老师鲍曼年级2005级10班学院数学与计算机科学学院系别数学系哈尔滨师范大学2007年6月论文提要所谓数学归纳法，就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.归纳法的逻辑结构是:设(i=1,2,…,n)是要研讨对象M的特例或子集,若(i=1,2,…,n)具有性质P,则由此猜想M也有可能具有性质P,简记为:另一种表达法是:M蕴含,为真，M也可能真。若是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法。它的结论未必是可靠
2、的，但应用方便并具有发现的功能，如果，这时的归纳法就称为完全归纳法，由于穷尽了被考察对象的一切特例以后才作出结果，因而结论是确凿可靠的。数学归纳法使将一个无穷的归纳过程，根据归纳公理转化成一个有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程，所以它有证明的功能，它的逻辑结构是:如{.数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的.不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度.人们在长期的科学实践过程中,
3、总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法.数学中的归纳法王旭摘要:所谓数学归纳法，就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.归纳法在数学中运用十分广泛.关键词：数学归纳法数学归纳法的特点一归纳法的特点(1)归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容.(2)归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质.(3)归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验
4、的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.例如多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱.于是产生了下面的表:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)立方体6812三棱柱569五棱柱71015方锥558三棱锥446五棱锥6610分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个
5、结论:.尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形.又如,已知函数,求.显然无法下手直接计算得出结果,最自然的想法乃是先求及等特殊的简单的形式.易得:;;于是,可以自然地归纳出结论:.有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它.二求同法某种被研究的对象,在几种不同的情形下都出现,而在各种情形中只有一个条件是共同的,于是,就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因.它的公式可以表示为:情形各种条件被研究的对象IIIIII可以认为A是a的原因.两个边长相等的正方形,其中一
6、个正方形某顶点重合于另一个正方形的中心O,并绕O点旋转,无论旋转到任何位置,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.两个边长相等的正六边形也具有同样的性质.由此使我们猜想到,这个现象产生的原因只在于两个多边形边长相等而且是正多边形,它与边数的多少无关.伽利略观察到,摆长相等﹑振幅不相等时,摆动一个周期的时间不变,于是,肯定了摆长是周期的决定因素.三求异法某种被研究的现象a,只有在第I种情形出现,在第II种情形不出现,而I﹑II两种情形除I有条件A而II没有条件A外,其余条件都相同,于是,可以认为A是现象a产生的原因或部分原因。求异法的公式是
7、：情形各种条件被研究的对象III—可以认为是现象a产生的原因或部分原因在种子、土地、气温相同的条件下，如果施用有机肥，产量就低。由此可以说明，施用有机肥时增产的原因，在相同的饲养条件下，如果给牛播送轻音乐，则牛奶产量高，说明播送轻音乐可以使牛奶产量增加。四求同求异并用法在一系列的情形中，凡有条件A的都有现象a出现凡没有条件A的则现象a不出现，则可认为A是现象a的原因。求同求异并用法：情形各种条件被研究的对象IIIIIIIV—V—可以认为A是a的原因。这种方法比单纯的求同法或求异法更为可靠。五共变法在一系列的情形中，其余条件保持不变，只把条
8、件A作大小强弱的变化，如果由此也只引起现象a的大小强弱变化,则可认为A是a的原因.共变法的公式是:情形各种条件被研究的对象IIIIII可以认为A是a的原因。共变法多用于两种因素之间的量的依存关
