数学奥林匹克竞赛题目.doc

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1、数学奥林匹克竞赛题目(第1试)(2006年12月18日上午8：30—11：00)一、选择题(共8题，每题8分，共64分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的括号内．1．定义运算符号“﹡”的意义为：a﹡b=(其中a、b均不为0)．下面有两个结论：(1)运算“﹡”满足交换律；(2)运算“﹡”满足结合律．其中()(A)只有(1)正确(B)只有(2)正确(C)(1)和(2)都正确(D)(1)和(2)都不正确2．下面有4个正整数的集合：(1)1～10l中3的倍数；(2)1～

2、101中4的倍数；(3)1～101中5的倍数；(4)l～10l中6的倍数．其中平均数最大的集合是()(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)(4)3．下面有3个结论：(1)存在两个不同的无理数，它们的差是整数；(2)存在两个不同的无理数，它们的积是整数；(3)存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中正确的结论有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4．如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于()(A)(a2+b2)(B)(a2+b2)(C)(a+b)2(

3、D)ab5．如果m、n是奇数，关于x的方程x2+mx+n=0有两个实数根，则其实根的情况是()(A)有奇数根，也有偶数根(B)既没有奇数根也没有偶数根(C)有偶数根，没有奇数根(D)有奇数根，没有偶数根6．如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系(1)p=2q；(2)q=r；(3)p+s=180°中，正确的是()(A)只有(1)和(2)(B)只有(1)和(3)(C)只有(2)和(3)(D)(1)、(2)和(3)第3题第8题7．有6个量杯A、B、C、D、E、F，它们的容积分别是16毫升、1

4、8毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是()(A)B、D(B)D、E(C)A、E(D)A、C8．如图，表示阴影区域的不等式组为()2x+.y≥5，2x+y≤5，2x+.y≥5，2x+y≤5，(A)3x+4y≥9，(B)3x+4y≤9，(C)3x+4y≥9，(D)3x+4y≤9，y≥0y≥0x≥0x≥0二、填空题(共8题，每题8分，共64分)：9．设a、b、c是△ABC的三边的

5、长，化简++的结果是.10．如图，DC∥AB，∠BAF=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=.第10题第13题11．同时掷出七颗骰子后，向上的七个面上的点数的和是10的概率与向上的七个面的点数的和是a(a≠10)的概率相等，那么a=．12．方程2x2–xy–3x+y+2006=0的正整数解(x，y)共有对．13．如图，已知直角坐标系中四点A(–2，4)，B(–2，0)，C(2，–3)，D(2，0)．设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写

6、出所有符合上述条件的点P的坐标：.14．已知R、x、y、z是整数，且R>x>y>z，若R、x、y、z满足方程16(2R+2x+2y+2z)=330，则R=.15．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB=m．16．设2005的所有不同正约数的积为a，a的所有不同正约数的积为b，则

7、b=.三、解答题(共4题，每题13分，共52分)17．某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(3)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?18．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．(1)线段MN与

8、BD是否垂直?请说明理由．(2)若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长.19．已知x、y为正整数，且满足xy–(x+y)=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y)(x≥y)．20．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，l，2，2，2，1，2，．．．，规则是：第1个数是l，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2(k=1，2，3，．．．)．试问(1)第20