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1、§2.5极限过程的其他形式实数集的广义极限点(或广义凝聚点)设x是实数集•若x无上界，即VA>0,X满足x〉则称+*是X的一个极限点(或凝聚点)；若X无下界，即VA>0,3xgX满足x<-A,则称-oo是X的一个极限点(或凝聚点)；若X无界，即/A>Q.3xeX满足
2、x
3、>A,则称00是X的一个极限点(或凝聚点).定义2.12和2.13设/是X上的单变量函数，co是X的极限点，ZgD是常数•若V^>0,3A>0,使得当“X,
4、x
5、>A时成立
6、/(X)-/
7、<£,则称当兀Too时/(兀)趋向于Z;或称当兀Too时/有极限或称当XTOO吋/以/为极限；或称/在OO处有
8、极限/•“当XTOO时/有极限厂‘这件事用数学符号表示成limf(x)=I或f(x)—>Z(x—>00)或/(8)=Z.类似地，能定义当兀T+oo和兀T-OO时单变量函数/的极限(类似于单侧极限).容易看出，与单变量函数的极限有关的所有结论都能推广到在8,+8和-X处极限的情形.例1可将数列｛%｝视为『上的单变量函数f(x)=afiyx=neU于是,当liman时，有lim/(x)=limf｛x)—a・HT8XT8X—>+00定理2.15设/是X上的单变量函数，X无界•那么(1)当X有下界时,limf(x)=Iolim/(x)=I；A•—>8X—»+8(2)当X有
9、上界时，lim/(x)=/<=>lim/(x)=/；XT8XT-8(3)当X既无上界又无下界时，lim/(x)=/olim/(x)=lim/(%)x—>00牙T+ooxtyo（［、人第二个重要的函数极限lim1+丄之.宀叭X）/［、工证：当氏口［-1,0］时，1+-有意义.IX丿⑴/］、〔屈"•这是因为［1+瓦在［l,+oo）上递增有界之故.(2)liml1+-
10、=0•这是因为当xg[1,+oo)时成立不等式X—>4-00V(1、[A](、Xr11+<1+丄<1+11W+1；kX丿11、汽一1)时有1+—I无丿xx+l-l(1、y+l(1、X(1、y+l1+丄,故lim1+丄=lim1+丄=e.□丿X—>-ooy—>+ooLy丿练习题2・5(饶)1(3),2(3),3,4,5,6(2,5,6,7,&9,10),7,&9,10.问题2.5(坨6)1,3.§2.6无穷小与无穷大定义2.14设/是X上的单变量函数，观是X的极限点•若VA>0,m3>0,使得当xgX,0v卜一对vd时成立
12、/（x）
13、>A,则称当%—>时/⑴趋向于I记作lim/（x）=oo或/（%）—>oo（%—>x0）.XT*）类似地，能定义诸如lim/（x）=+oo,lim/（兀）=_8
14、,lim/（兀）=-oo,XT心X—>・®+XT8limf（x）=+oo等各种形式的广义极限.不重要的术语一无穷小（量）和无穷大（量）若lim/（无）=0,则称当XTXo+x—>x0+时/（兀）是无穷小（量）；若lim/（x）=0,则称当XT8时/（%）兀T8是无穷小（量）;若lim/（x）=oo,则称当兀t兀。时/（x）是无穷大（量）；若lim/（X）=oo,则称当XT-OO时/（X）是无穷大區）；依此类推，能XT-8定义各种形式的无穷小（量）和无穷大（量）・显然，若f和一都有定义，则当XT%。时/（无）是无穷小（量）O当XTA：。时丽是无穷大（量）•定义2.15
15、（不重要的术语一无穷小（量）和无穷大（量）的阶的比较）设当无T兀。时/（X）和g（兀）都是无穷小（量）,并且在兀。的某个去心邻域上g（X）HO・那么（1）若lim^=0,则称当XTX。时/（兀）是比g（x）高阶的无穷小fg（无）區）；⑵若口{0},则称当x-»x0时/（兀）是与gO）同阶的无fg（兀）穷小（量）;⑶若lim』l9=l,则称当x->x0时/（x）是与g（Q等价的无穷小•f0g（x）（量）・类似地，能定义无穷大(量)的阶的比较；也能定义其它形式的无穷小(量)和无穷大(量)的阶的比较.注意：任意两个无穷小(量)未必能比较阶的大小；任意两个无穷大(量)也未
16、必能比较阶的大小.定义2.16(几个必须牢记的重要的数学符号)设g是X上的单变量函数，心是X的极限点，并且在xo的某个去心邻域上g(QH0•那么(1)VX上的单变量函数f,只要满足lim加=0,便记f(x)=fg(x)o(gO))(x->x0)；(2)VX上的单变量函数/,只耍/在兀。的某个去心邻域上有界,g便记/(X)=O(g(Q)(兀T兀0)；(3)VX±的单变量函数/,只要满足lim竺=1,便记/(%)□fg(x)g(兀)(x->x0).类似地，能规定f(x)=o(g(x))(x^xQ-)9/(兀)=O(g(x))(兀Too)和/(x)1g(x)(无T-o
