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1、§2.5极限过程的其他形式实数集的广义极限点(或广义凝聚点)设是实数集.若无上界，即满足,则称是的一个极限点(或凝聚点)；若无下界，即满足,则称是的一个极限点(或凝聚点)；若无界，即满足,则称是的一个极限点(或凝聚点).定义2.12和2.13设是上的单变量函数，是的极限点，是常数.若,使得当时成立,则称当时趋向于；或称当时有极限；或称当时以为极限；或称在处有极限.“当时有极限”这件事用数学符号表示成或或.类似地，能定义当和时单变量函数的极限（类似于单侧极限）.容易看出,与单变量函数的极限有关的所有结论都能推广到在和处极限的情形.例1可将数列视为上的单变量函数.于是
2、,当时,有.定理2.15设是上的单变量函数,无界.那么(1)当有下界时,；(2)当有上界时,；(3)当既无上界又无下界时,.61第二个重要的函数极限.证:当时,有意义.(1).这是因为在上递增有界之故.(2).这是因为当时成立不等式之故.(3).记,则当时有,故.□练习题2.5()1(3),2(3),3,4,5,6(2,5,6,7,8,9,10),7,8,9,10.问题2.5()1,3.§2.6无穷小与无穷大61定义2.14设是上的单变量函数,是的极限点.若,使得当时成立,则称当时趋向于,记作或.类似地,能定义诸如,,,等各种形式的广义极限.不重要的术语—无穷小(
3、量)和无穷大(量)若,则称当时是无穷小(量)；若,则称当时是无穷小(量)；若,则称当时是无穷大(量)；若,则称当时是无穷大(量)；依此类推,能定义各种形式的无穷小(量)和无穷大(量).显然,若和都有定义,则当时是无穷小(量)当时是无穷大(量).定义2.15(不重要的术语—无穷小(量)和无穷大(量)的阶的比较)设当时和都是无穷小(量),并且在的某个去心邻域上.那么(1)若,则称当时是比高阶的无穷小(量)；(2)若,则称当时是与同阶的无穷小(量)；(3)若,则称当时是与等价的无穷小(量).类似地,能定义无穷大(量)的阶的比较；也能定义其它形式的无穷小61(量)和无穷大
4、(量)的阶的比较.注意：任意两个无穷小(量)未必能比较阶的大小；任意两个无穷大(量)也未必能比较阶的大小.定义2.16（几个必须牢记的重要的数学符号）设是上的单变量函数,是的极限点,并且在的某个去心邻域上.那么(1)上的单变量函数,只要满足,便记；(2)上的单变量函数,只要在的某个去心邻域上有界,便记；(3)上的单变量函数,只要满足,便记.类似地,能规定,和等各种符号的意义.注意：能记成,但不能记成.例；；；；；；.练习题2.6()2(3,4),3(1,3,5).问题2.6()2.§2.7连续函数61函数在某点处的连续设是上的单变量函数,.若当很小时,也很小,则称
5、在处连续；若在中的每个点处都连续,则称是上的连续函数.定义2.17设是上的单变量函数,.若,使得当时成立,则称在处连续；若在中的每个点处都连续,则称是上的连续函数；上连续函数的全体通常用表示.命题1(在某点处连续的等价条件)设是上的单变量函数,若不是的极限点(此时称为的孤立点),则必在处连续；若是的极限点,则在处连续.证:(1)是的孤立点.,使得,故当时有.这说明在处连续.(2)是的极限点.“”.若在处连续,即,使得当时成立,则当时更加成立.这说明.“”.若,即,使得当时成立,显然当时也成立.这说明在处连续.□例1有限实数集,,上的函数都是连续函数.例2,是上的连
6、续函数；,常数函数61是上的连续函数.例3和都是上的连续函数.证:(1)在每个处连续.,故,即.(2)在每个处连续.,故,即.□例4Dirichlet函数处处不连续；仅在处连续.证:(1)固定的,存在收敛于的有理数列和无理数列.于是,,,这说明不存在,故在处不连续.(2)显然成立,故在处连续.若在处连续,则,这说明在处连续,与已知相矛盾.□定义2.18(仅对单变量函数有意义)若,则称在处右连续；若,则称在处左连续.命题2设是上的单变量函数,是的极限点.那么61(1)当不是的极限点时,在处连续在处右连续；(2)当不是的极限点时,在处连续在处左连续；(3)当既是的极限
7、点又是的极限点时,在处连续在处左、右连续.指数函数的定义利用Cauchy收敛原理可证：存在,记.于是(1)；(2)；(3)；(4)在上严格递增,故其反函数有意义；(5)规定.例5是上的连续函数.证:因为是单调函数,并且在任何有限区间上有界,故存在.注意到,便知；另一方面,有.这说明在处连续.固定的,有.这说明在处连续.□定理2.17设是上的单变量函数,.若都在处连续,则都在处连续；在附加上条件“处处不取零值”后，61也在处连续.定理2.18若在处连续,在处连续,则在处连续.练习题2.7()1(3,4,5),2(3,4),4(1,2),5,6,7,10.问题2.7(
8、)1,3,
