《极限计算练习》的解答及其他

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1、《极限计算练习》课堂测验的题解及其他各位同学：11月23日下午进行了《高等数学（上册）》的第2次课堂练习，从教学计划来说，这是例行的测验，从学习的角度看，也是对大家大半个学期来学习情况的一次检验。测验的结果很不理想，出乎我的预料。看来有相当数量的同学，还没有进入大学学习的轨道，没有化起码的功夫。当然，学习好的同学也不少，我教的两个班上，有近30-40位同学的成绩一直稳定在90分上下，可见他们已经具有的数学基础很不错。我很欣赏他们。希望他们走向成功的明天。我这么说其实还包含了一层意思：学数学是没有底的，不要满足于目前《高等数学》的层面，因为这门课毕竟只是对一般的理

2、工科学生开设的，要求并不高，不要满足于能做几个题。不知这些同学有没有理解我的苦心。另外，我一直不认为分数是衡量数学好坏的绝对标准，即使那些考了90分的同学，只表明你做这几个“死”题做的不错，不等于能应用数学解决实际问题，活的数学题你们还没有接触到。所以，每个人都要保持“在科学面前要有敬畏之心，谦卑之心”。那些老是不及格，或在40—60分上下浮动的同学，要提高警惕，不要在大一上学期就被拉下，这样被动下去，你的大学生涯恐怕是不会乐观的，你的心里也许会有变化。你的这个大学上得没有意思了。同学们的队伍由此拉开了距离——就像长跑一样，拉开了距离，一般是很难追上的。为此，我

3、这里对其中若干题目进行分析，提供几种思路，供大家思考和回味，特别对不会做的同学，你还是要努力学懂啊！不要放弃！放弃了，没有可能再抓回了，第二年重修的人，很少能够通过，这是历史的教训。我再次强调，解数学题没有定规，解题的角度不是固定不变的，我这里的解法未必覆盖全部，只是提供一种思考的角度，大家没有必要照抄照搬，也没有必要用一种解法去否定另一种解法。对大家而言，能从不同的角度来分析和求解，是一种最好的学习方式。第1大题的6个小题，比较简单，这次没有要求大家去做，但对有些同学来讲，等助教把试题本发下后，也请独立做一遍。下面我从第2大题开始。2.判别下列极限是否存在，若

4、存在，请计算器极限值。（1）；。【分析】本题给出的2个函数，在点处没有定义！却要我们求极限，你能理解吗？这里我要特别强调，求函数值时，必须要有定义，但求极限却不必要求有定义，理由是极限过程是16，即趋向于0，永远不等于0。那么，要判别极限是否存在的充要条件是什么呢？是的左、右极限都存在，并且相等。不知大家对左、右极限的理解如何?所谓的右极限是指变量从0的右边趋向于0，在这个过程中变量始终是正的；而的左极限是指变量从0的左边趋向于0，在这个过程中变量始终是负的。有了这些概念，求解这些题目应该是没有什么原则困难的。当然结合具体函数，我们还要解决一些难点。（1）这个函

5、数的极限问题的难点在于处理好和在的左、右极限。首先右极限，其中第1个极限，第2个极限，（因为）所以在的右极限等于。再考虑左极限，，其中第1个极限，第2个极限，所以在的左极限等于。虽然在时的左、右极限都存在，但不相等，则在时的极限不存在。（2）本小题的函数是一个分段函数，在在点处没有定义，在的两边的函数是不同的。不难计算得到16，，可见在时的左、右极限都存在，而且相等，则在时的极限存在，且等于。3.计算下列极限（1）【分析】这是一个的未定型极限，要做适当的处理。解法1：先将根号中的开出来，然后利用等价无穷小公式值无穷小量）：。（因为在时为无穷小）解法2：令，原式。

6、这个解法称为“倒数法”，以后在学积分时还会看到它的作用。解法3：对上式中型极限采用L’hospital法则，但计算比上面采用等价无穷小麻烦。大家可一试。不要因为计算麻烦就否定它，那是中学思维。（2）【分析】这是一个型极限。当然可以一开始就用L’hospital法则，但未必计算容易。解法一：用等价无穷小代换：时，有等价无穷小：，，，，这样原式等于16。这样就得出了结果，很简洁。这里没有减法，可以放心地去做。解法二：如果你能看出分子中的第2项等价于，等价于，它等于，所以分子可等价于+；同理，分母中的第二项，故分母等价于。这样，最中结果等于3。解法三：用Taylor公

7、式也是一条路，留给大家。一般而言，总是能化简的线化简，在用其他“重”武器。等价无穷小代换，是一种不可缺少的基本功。（3）解法一：这是数列的极限，属于型。数列的极限无法直接使用L’hospital法则或Taylor公式等“武器”，但数列也有无穷小序列的概念，要充分利用。本题的难点在于化简，提出，使得出现，其次，要把化为以为底的指数，这些都可以认为是最基本的极限方法。（利用。最后第2个等号是因为等价无穷小。解法二：先研究函数在的极限，然后用到上去。其实，解一已经很简洁，一般不用这么转来转去。但有的情况下，这样思路也有价值。（4）【分析】这是一个型极限，它总与有关。（

8、这一点，请各位千万别忘记