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《高中数学必修4教案三角恒等变换.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章三角恒等变换重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.新课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)而提出这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化本节的研究课
2、题进入课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=,cos30°=,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？③利
3、用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C(α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C(α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=,这一反例足以说明co
4、s(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦
5、线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cosβ,AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不
6、少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠AOB=α-β.由向量数量积的定义有·=
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10、·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有·=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(
11、α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则·=cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且·=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β
12、).由此可知,对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(α-β).有了公式C(α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C(α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右
