经济数学方法.doc

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1、經濟數學方法壹、矩陣與行列式◎定義:階矩陣為一包括列和行的數字的方形排列，若以A代表此矩陣，則例:分別為4和2矩陣◎定義:若則=C例:則◎定義:若A=(為矩陣，B=(為矩陣，則A和B的乘積AB為矩陣C例:求AB及BA==BA無法計算◎行列式:Cramer'sRule已知例:解下列聯立方程式:貳、微分◎微分公式:◎若◎設與皆存在:jkl◎鏈鎖律(chainrule):設函數f與g皆可微分◎反函數(inversefunction):設函數f與g滿足f(g(Y))=Y函數g為f之反函數g(f(X)=X且g=f◎偏微分:例:◎全微分:例:TE=PQ◎自

2、然對數(e)與自然指數(ln):xyexlnx11性質:(1)、、(2)(3)設存在(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)且(x0,y0)y=f(x)αyx(13)◎切線與射線:j給定切線上任一點(X,Y)k射線角度值◎函數的高階導數:、◎函數的臨界點及反曲點:(一)若f/(x)>0X1X2f(x2)f(x1)XYab則為函數f之臨界點(二)函數f在為嚴格遞增f/(x)<0X1X2f(x2)f(x1)XYab函數f在為嚴格遞減concaveupwardf/(x)>0f//(x)<0XY上凹f/(x)<0f//(x)>0XY

3、上凹concavedownwardf/(x)<0f//(x)<0XY下凹f/(x)>0f//(x)<0XY(三)上凹反曲點(inflectionpoint)上凹下凹xyC0故函數遞增遞減性，函數凹性(四)第一導數檢驗定理:或XC切記-+f(C)為局部極小值+-f(C)為局部極大值--++f(C)為非局部極值xyf(C1)f(C2)C2局部最小值C1局部最大值第二導數檢驗定理:jkl本定理失敗參、積分(一)不定積分(Indefiniteintegral)而F之導函數、F為f之反導數故F為f之反導數◎性質:jklm◎(二)定積分(defin

4、iteintegral)xyf(x)ab◎性質:jklmnoX=a被定義pq肆、齊次函數與尤拉定理(一)階齊次函數(homogeneousfunctionofdegreen)◎定義:若則稱階齊次函數(二)尤拉定理(EulerTheorem)◎定義:若則◎証明:對入微分:令(三)齊序函數(同位函數)(homotheticfunction)◎定義:(一階齊次函數的正單調上升轉換稱之)若為H.O.D1且稱之。I.C.C.I=1500I=1000CDbook40606090例:若有齊次偏好，所得1000元，買40本書，60張CD,當所得為1500時，而

5、書，CD價格不變，會買60本書，90張CD伍、古典規劃分析:最適化(Optimization)(一)未受限制下的極大與極小◎單變數函數(X)1.極大:2.極小:(二)多變數函數(1.jk◎有限制條件下之極值分析:(正負相間(Max)全為正(Min)陸、古典規劃分析應用:Optimization(1)maxQ(2)minC=W3個主要問題類型(3)maxf(x)maxU(x,y)xors.t◎TheStructureofanOptimizationProblemMaxf(x)f(X)=objectivefunctionX:choicevariab

6、lesS:feasiblesetsolutions:Importantgeneralproblemsaboutthesolutionstoanyoptimizationproblem:(1)ExistenceofSolutionsPropositions:Anoptimizationproblemalwayshasasolutionif(1)theobjectivefunctionis“continuous”(2)thefeasiblesetis“nonempty,closeandbounded”(2)LocalandGlobalOptimaP

7、repositions:Alocalmaximumisalwaysaglobalmaximumif(1)theobjectivefunctionisquasiconcave.(2)thefeasiblesetisconvex.(3)UniquenessofSolutionPropositions:Givenanoptimizationproblemsinwhichthefeasiblesetisconvexandtheobjectivefunctionisnonconstantandquasiconcave,asolutionisuniquei

8、f:(1)thefeasiblesetisstrictlyconvex,or(2)theobjectivefunctionisstrictlyquas