2010中考压轴题1.doc

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1、二0一0年中考数学压轴题汇总一1．（2010甘肃28压轴题）(12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】第一小题考查学生求解二次函数解析式与顶点坐标，坡度设置合理，学生上手容易，第二小题属于在平面直角坐标系中考查学生运用勾股定理的逆定理来论证直角三角形，只需要第一小

2、题计算正确，绘制出点的坐标后利用两点的距离公式即可完成解答，第三小题给予区分度指标的要求，在二次函数中融入相似形的不确定性，引入对学生空间想象力和分类讨论，抓住直角的不变性，用夹直角的两边对应成比例求解即可获得答案．【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.即抛物线的解析式为过A（－1，0）、B（3，0），∴解得.∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．∴顶点D的坐标为.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴.在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC

3、=4-3=1，∴.在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴.∴，故△BCD为直角三角形.（3）连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合条件的点为．过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合条件的点为P2（9，0）．∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.【涉及知识点】二次函数、直角三角形、相似形【点评】本题坡度设置合理，以二次函数为载体，分别考查学生求解二次函数解析式和顶点坐标、论证

4、直角三角形、和利用相似形来确定点的坐标，考查知识点较多，综合度也较合理，信度效度指标合理，区分度明显，较好体现二期课改对于学生学习过程性目标的考查．【推荐指数】★★★★★2、28.(2010甘肃兰州,28,11分)如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3；抛物线y=－x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直

5、线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．【分析】（1）根据图象经过点的坐标来确定函数的解析式然后求出抛物线的最值；（2）先计算直线ME解析式,然后确定P点的坐标来判断是否在直线ME上；（3）通过分类讨论得出四个点组成所有可能的图形,并计算出面积.【答案】（1）因抛物线y=－x2+bx+c经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c＝0,b＝4所以抛物线的解析式为y=－x2+4x由y=－x2+4x=－（x-2）2+4得当x＝2时，该抛物线的最

6、大值是4（2）①点P不在直线ME上.已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y＝kx+b.于是得，解得所以直线ME的关系式为y＝－2x+8由已知条件易得，当时，OA＝AP＝，P(,)∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y＝－2x+8.[来源:Zxxk.Com]∴当时，点P不在直线ME上②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA＝AP＝t.∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)∴AN＝-t2+4t(0≤t≤3),∴AN-AP＝(-t2+4t)-t＝-t2+3t＝t(3-t)≥0,∴PN＝-t2+3t

7、（ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S＝DC·AD＝×3×2＝3.（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S＝(CD+PN)·AD＝[3+(-t2+3t)]×2＝-t2+3t+3当-t2+3t+3＝5时，解得t＝1、2而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，