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1、6特征值、特征向量及相似矩阵6.1内容提要6.1.1向量的内积1.向量的内积的定义设«,0=()1，儿,…，儿)'称(XV)=兀1)1+兀2儿+•••+£儿为向量G与0的内积。2.运算规律(1)(a0)=(0a)；(2)(q+0/)=(a/)+(/?/)；(3){ka/3)=k{a0)；(4)(aa)>0当且仅当q=0时(aa)=0o3.向量的长度a
2、=J(aa)=肩+••£4.向量的正交若(a0)=0,则称a与0正交5・正交向量组设es，，若aQ/)=()心.八则称es，…,乞.是一个正交向量组。6.正交向量组的性质若n维向量弘冷…
3、心是一组两两正交的向量组，则％巾,…4,线性无关。7.正交基及标准正交基(正交规范基)正交向量组构成的基称为正交基。两两正交，且都是单位向量的基称为标准正交基。6.标准正交基的求法（施密特正交化方法）设印卫2,…,务线性无关。（1）正交化取卩严0CB-a-^2/?沟2(处/3_a—如乂〃-A3(AA)A（。302）r（必严B-a(必)B(认)B久‘加'(5)0(2)单位化r_卩r_02r_Ps6.1.2正交矩阵1.定义若”阶实矩阵A满足A7A=E,则称A为〃阶正交阵。2.A为正交阵的重要条件。A是正交矩阵oA的行（列）向量组的每
4、一个向量都是单位向量且两两正交。3.正交矩阵的性质（1）若A为正交矩阵，则A"也是正交矩阵。（2）若A,B均为正交矩阵，则力B也是正交矩阵。（3）若A是正交矩阵，则
5、A
6、=±1O（4）正交变换：P为〃阶正交矩阵，兀,y为川维列向量，若y=Px,则称此变换为止交变换。6.1.3矩阵的特征值与特征向量1.定义设A为〃阶矩阵，若存在常数2和非零〃维向量a,使也=加，贝称2为A的特征值，&是A的属于特征值入的特征向量。2.特征多项式与特征方程称Re-a
7、=办⑷为A的特征多项式AE-A=0为力的特征方程。3.特征值与特征向量的性质（1）属于
8、不同特征值的特征向量是线性无关的；（2）实对称阵属丁不同特征值的特征向量是正交的；（3）A与A「有相同的特征值。（4）设/（兀）=勺*+%"“+・・・+色若几是A的特征值,则/（刃=%+如心+・••+%是/■⑷的特征值。（5）人,…，人是n阶矩阵A的特征值，则&人…血=
9、A
10、,人+人久"=a\+勺2*■%=乃"（A）4.特征值与特征向量的求法（1）计算A的特征多项式fW=AE-A（2）求出特征方程f（Z）=AE-A=0的全部根入，…人即为A的全部特征值。（3）对每个人，求岀齐次线性方程组（Az.E-A）X=0的基础解系es，
11、・・・％则a],冬,…Q$即为矩阵A的属丁•特征值人的特征向量。6.1.4相似矩阵1.定义设A,B是n阶矩阵，若存在可逆距阵P,使B=则称矩阵A与B相似，记为1.相似矩阵的性质(1)反身性：(2)对称性：若A^B，则B^A；(3)传递性：若B~C,则(4)若AB,则ABr；(5)若A~B,且A,〃都可逆，则A^B~(6)若AB,则AB(〃wN)；(7)相似矩阵有相同的特征多项式，特征值；(8)相似矩阵的行列式相等；(9)相似矩阵的秩相等；(10)相似矩阵有相同的迹。2.矩阵对角化(1)定义:若斤阶矩阵A与对角阵相似，则称A可对角化
12、。(2)〃阶矩阵可对角化的条件；%1充耍条件：A有斤个线性无关的特征向量。%1充分条件：若A有“个不同的特征值，则4可对角化。(3)矩阵对角化方法%1求人的特征值%1解方程组(AlE-A)X=O,求其基础解系。基础解系的解向量即为A的加于特征值A的特征向量。%1以人的特征向量为列，按特征值的顺序从左往右构成可逆距阵P；%1与特征向量相对应，将人写在矩阵主对角线上构成对角阵A%1写岀相似关系式：P~lAP=A；(1)实对称阵的对角化结论：%1实对称阵的特征值都是实数；%1实对称阵属丁•不同特征值的特征向量为正交;%1实对称阵一定可对角化
13、。6.2重点1特征值，特征向量的定义及求法;2矩阵的相似对角化;实对称阵对角化的步骤：①求出A的特征值入和属于入的特征向量;%1将力的属于同一个特征值的特征向量正交化；%1将全部向量单位化；%1将正交单位化后向量为列且按人在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵P%1写出关系式P二A3矩阵相似的判定6.3典型习题6.3.1特征值，特征向量的求法‘17-2例1求矩阵4二-214（一2-4A—172解
14、2E-A
15、=22-1424-2、-4的特征值与特征向量。14丿12-17224=22-1442-14018-22-18A-17222-17
16、42(2-18)22-144=(2-18)22-1040-11001=(2—⑻仏2-27几+162)=(Q—⑻'(/l一9)得到矩阵A的特征值是入=22=18，久3=9当2=18时，由(18E-A)a=0,即‘122、仃
