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1、初中数学勾股定理北京师范大学田开兰【重点难点考点】学习目标1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形.重点:掌握勾股定理及其逆定理.难点:理解勾股定理及其逆定理的应用.考点:勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的应用【知识架构】【考点一】勾股定理一)勾股定理的推导法一:面积证法:SA+SB=SC结论:两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积ABC图1-1相传2500年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时,发
2、现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.【考点一】勾股定理一)勾股定理的推导法二:赵爽弦图的证法S大正方形=S小正方形+4S直角三角形在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾",下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.中黄实(b-a)2cbabababacccc2=(b-a)2+4×abc2=a2+b2勾股【考点一】勾股定理一)勾股定理的推导法三:茄菲尔德的证法有趣的总统证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法
3、在数学史上被传为佳话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。bacbacccc2=a2+b2(a+b)(a+b)abab++c2=【考点一】勾股定理二、勾股定理一)勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有勾股定理的另一种表述:直角三角形两直角边的平方和和等于斜边的平方。二)勾股定理的其他表示形式:★解题技巧:1、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据2、勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.
4、通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理c2=a2+b2【考点一】勾股定理例1:如图3,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间有的关系式.S1S2S3图4【考点一】勾股定理例2:如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.【考点一】勾股定理例3:如图2,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为
5、2.5米.①求梯子的底端B距墙角O多少米?②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).OBDACCAOBOD【考点二】勾股定理的逆定理一)勾股定理的逆定理(直角三角形的判定):如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形.◆符号语言:在△ABC中,若a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形。★注意:1、这一命题是勾股定理的逆定理2、它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.3、定理的证明采用了构造法.利用已知
6、三角形的边a,b,c(a2+b2=c2),先构造一个直角边为a,b的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等,证明定理成立.c2=a2+b2【考点二】勾股定理的逆定理★二)勾股数组:定义:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数组.常见勾股数组:(1)a=3,b=4,c=_____(2)a=9,b=____c=15(3)a=____,b=40,c=50(4)a=24,b=32,c=________(5)a=5,b=_______,c=13(6)a=_____,
7、b=36,c=39(7)a=25,b=60,c=________【考点二】勾股定理的逆定理三)解题技巧:在中考中,很多问题常常要证明两条直线互相垂直,当题中给出线段的长度要证明它们互相垂直时,往往用到勾股定理的逆定理通过计算得到证明.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法
8、:利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.【考点二】勾股定理的逆定理四)逆命题与互逆命题1)互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.3)注意:任何一个命题都有