数学物理方法第11章.ppt

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1、第十一章柱函数11.2贝塞尔方程§11.1三类柱函数11.4虚宗量贝塞尔方程11.5球贝塞尔方程11.3柱函数渐进公式（自学）柱坐标系中Laplace方程为将变量变与和z分离称为贝塞尔方程称为虚宗量贝塞尔方程§11.1三类柱函数（一）、三类柱函数第二类柱函数第一类柱函数第三类柱函数为阶贝塞尔函数为阶诺伊曼函数为第一种和第二种汉克尔函数当x0时，（二）、x=0，x=处的自然边界条件剩下若研究区域含x=0，要去掉称x=0处的具有自然边界条件当x时，不可任意舍弃其一若研究区域圆柱外区域，要

2、保留(三）、三类柱函数的递推关系有递推关系证明：具体写出导数关系类似有消去J’(x)得证=0时，由关系=1时，由关系或下面讨论柱坐标系下，拉氏方程或亥姆霍兹方程分离变量得到的贝塞尔方程在柱内的本征值问题11.2贝塞尔方程（一）、本征值问题亥姆霍兹方程柱侧面有齐次边界条件、是常数，=0或=0，或、均不为零时，分别表示=a端有第一、第二、第三类齐次边界条件贝塞尔方程柱侧面有齐次边界条件0（1）、=a端有第一类齐次边界条件可见J0(x)是震荡衰减的偶函数可见J1(x)是震荡衰减的奇

3、函数Jn(x)=0有无限多实根由边界条件设第n个零点根为本征值由本征值本征值函数（2）、=a端有第二类齐次边界条件本征值（3）、=a端有第三类齐次边界条件利用关系本征值(二）、贝塞尔函数的正交性对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区减[0，a]上带全重正交(三）、贝塞尔函数的模以下令由贝塞尔方程代入代入得所以当x0时，因为所以（1）、=a端有第一类齐次边界条件而（2）、=a端有第二类齐次边界条件（3）、=a端有第三类齐次边界条件(四）、广义Fourier级数系数积分带全重第三类第二类第一

4、类(五）、母函数、加法公式加法公式母函数以下积分关系有用，因为因为例：计算积分解：例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体，下底和侧面保持温度为零，上底温度分布为u=u0。泛定方程边界条件解：代入极坐标系中Laplace方程边界条件柱侧面有齐次边界条件0边界条件边界条件由Fourier级数展开上面讨论柱坐标系下，柱侧面有齐次边界条件011.4虚宗量贝塞尔方程（一）、本征值问题但在柱上、下底有齐次边界条件时，只有没意义的解故，在柱上、下底有齐次边界条件时<0有虚宗量贝塞尔方程令和为

5、虚宗量贝塞尔方程令为m阶贝塞尔方程m阶虚宗量贝塞尔函数为实数m阶虚宗量贝塞尔函数为实数对于整数m寻找另一线性无关解，定义称为虚宗量汉克尔函数称为虚宗量汉克尔函数当=m时可计算出Km(x)x=0是Km(x)的奇点而故虚宗量贝塞尔方程解为实际问题中，在柱上、下底有齐次边界条件，柱侧面有非齐次边界条件时，会出现虚宗量贝塞尔函数例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体，上底和下底保持温度为零，侧面温度分布为u=u0。泛定方程边界条件解：代入极坐标系中Laplace方程代入令为零阶虚宗量贝塞尔函数

6、边界条件求付氏变换Fourier级数展开故因此亥姆霍兹方程在球坐标系中表示为首先试图将此变量变r与和分离11.5球贝塞尔方程称为球函数方程第一式这称为l阶球贝塞尔方程令若k=0l阶球贝塞尔方程退化为欧拉型方程化为l阶球贝塞尔方程的线性独立解为（一）、线性独立解故l阶球贝塞尔方程解为(二）、递推关系令递推关系(三）、初等函数表示(四）、x0,x的行为(五）、本征值问题（=a端有第一类齐次边界条件）本征值本征函数本征值本征函数广义Fourier级数系数广义Fourier级数系数例：半径为r0

7、的均匀热介质球，原来温度为u=u0，放入冰水中，使球面温度保持为零，求球内温度分布。。泛定方程边界条件解：代入方程和边界条件与无关m=0，与无关l=0初始条件本征值本征函数因为本征值本征函数特解特解代入边界条件解为代入初始条件两边按球贝塞尔函数展开