数学物理方法.ppt

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1、微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程，如达朗贝尔法，能够得到解析解级数法—如分离变数法，能够得到近似的级数解数值解法—计算数学内容有关分离变量法（级数解法）：第八章：直角坐标系下的分离变数法，又称为傅立叶级数法、驻波法，能够处理一维振动和输运方程及二维分布方程。第九、十、十一章：球坐标和柱坐标系下的分离变量法，能够处理三维齐次分布方程（拉普拉斯方程）和三维振动、输运方程。第八章要学好，要求记忆：直角坐标系下、一维齐次振动和输运方程的通解（8.1节查表）第九章：解决了两类坐标系下，三类泛定方程分离出的常微分方程及其通解第十、十一章：结合定解条件，由通解求定解，即求

2、出通解中的系数介绍了一种特殊的常微分方程：贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程的解-----贝塞尔函数和虚宗量贝塞尔函数，本节结论需要记忆介绍了一种特殊的常微分方程：连带勒让德和勒让德方程的解-----连带勒让德函数和勒让德函数，本节结论需要记忆第九章二阶常微分方程级数解法§9.1特殊函数常微分方程§9.2常点邻域上的级数解法§9.3正则奇点邻域上的级数解法§9.4斯图姆—刘维尔本征值问题介绍两种坐标系下，泛定方程分离的常微分方程及部分常微分方程的解，本章重点，189页表。本章要学好，要求记忆189页表：（1）两种坐标系下、三类泛定方程（偏微分方程）分离出的常微分方程（2）不同

3、常微分方程的解第九章二阶常微分方程级数解法第九章二阶常微分方程级数解法§9.1特殊函数常微分方程用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出微分方程．现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常在柱坐标系下规定：规定在球坐标系下拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标柱坐标球坐标（一）拉普拉斯方程球坐标下拉普拉斯方程欧拉方程连带勒让德方程球函数方程轴对称球坐标下拉普拉斯方程勒让德方程极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下的

4、形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系柱坐标下拉普拉斯方程01)(1222222=¶¶+¶¶+¶¶¶¶=Ñzpppppufuuuλ=m2m阶贝塞尔方程m阶虚宗量贝塞尔方程球坐标下拉普拉斯方程分离变数得到:1欧拉方程2二阶常微分方程自然周期性条件3连带勒让德方程通解为：复习轴对称球坐标下拉普拉斯方程分离变数得到:1欧拉方程2勒让德方程通解为：复习柱坐标下拉普拉斯方程m阶贝塞尔方程分离变数得到:1二阶常微分方程自然周期性条件2、3贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程m阶虚宗量贝塞尔方程复习通解为：通解为：轴对称柱坐标下拉普拉斯方程m=0复习柱坐标下拉普拉斯方程（二）波动方程亥

5、姆霍兹方程（三）输运方程（四）亥姆霍兹方程（1）球坐标系令v(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)l阶球贝塞尔方程l阶球函数方程令L+1/2阶贝塞尔方程（2）柱坐标系令m阶贝塞尔方程特殊函数常微分方程球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况勒让德方程亥姆霍兹方程的分离变量球坐标系球贝塞尔方程柱坐标系贝塞尔方程柱坐标下拉普拉斯方程的分离变量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程§9.2常点邻域上的级数解法常微分方程中点的分类各点邻域级数解的形式勒让德方程的级数解常微分方程中点的分类二阶变系数常微分方程的一般形式w”+p(z)w’+q(z)w=

6、0方程中点的分类常点：z0是p(z)和q(z)的解析点正则奇点：z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析点非正则奇点：其它情况各点邻域级数解的形式常点z0邻域两解均为正则奇点z0邻域有一解为其中s由判定方程确定a0≠0定理由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在邻域上求解阶勒让德方程即为故方程的系数在，单值函数，均为有限值，它们必然在解析．点是方程的常点．根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式.勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解性质：奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数；退化性：l为非负整数时，级数解退化为多项式；收敛性：特解

7、的收敛半径为1；有界性：在x=±1时，非退化级数解发散。下面确定级数y0(x)和级数y1(x)的收敛半径。可以证明：级数解y0(x),y1(x)在x=±1发散，因而，勒让德方程的任一个解都不可能在x=1和x=-1有限。但数理方程的解要求有限，相应的就要求勒让德方程的解在一切方向0≤θ≤π,即在x的闭区间[-1,1]上保持有限，而级数解不可能满足这个要求。解在区间[-1,1]的两端x=±1保持有限，称为自然边界条件。寻找勒让德方程满足自然边界条件的解:如l为偶数，则y0(x)只含偶次幂的l次多项式，而y1(x)为无穷级数，在x=±1处发散，