数学物理方法第12章课件.ppt

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1、第十二章格林函数法12.1泊松方程的格林函数法12.2用电像法求格林函数格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。12.1泊松方程的格林函数法一、格林公式设u（r）和v（r）在区域T及其边界上具有连续一阶导数，而在T中具有连续二阶导数。第一格林公式因为所以同理两式相减，得即第二格林公式二、泊松方程的求解边界条件:泊松方程:泊松方程第二边值问题或诺依曼问题：＝0，≠0泊松方程第一边值问题或狄

2、里希利问题：≠0，＝0泊松方程第三边值问题：≠0，≠0v（r，r0）表示位于点r0而电量为－0的点电荷产生的电势。Tr0K利用第二格林公式点源函数v（r，r0）满足：r≠r0，（r－r0）＝0→0右边→泊松方程的基本积分公式格林函数满足：解的积分表达式：G（r，r0）表示格林函数，泊松方程第一边值问题：格林函数满足：G（r，r0）乘u乘，并以G代替其中的v泊松方程第三边值问题：两式相减，得解的积分表达式：第二边值问题：定解问题的解不存在。拉普拉斯方程，f（r）≡0第三边值问题的解拉普拉斯方程第一边值问题的解三、

3、拉普拉斯方程的求解12.2电像法求格林函数一、无界空间的格林函数 基本解将边值问题的格林函数G分成两部分G0是基本解。对于三维泊松方程G0描述的是位于r0的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点r0处电量为－0的点电荷在无界空间中所产生电场中r点的电势，即对于第一边值问题，G1则满足二维泊松方程的基本解二、用电像法求格林函数设在一接地导体球内的M0（r0）点放置一带电量为－0的点电荷。则球内电势满足泊松方程边界条件G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。G0是不考虑球面边界影响的电势，G1则是感应电荷引起的电像法：

4、电像法的基本思想是用另一设想的等效点电荷来代替感应电荷。OOPM0跟OM1P相似PM0r0M1o∶∶PM0M1P=OM0OP∶∶r1按比例关系r0∶a＝a∶r1选定M1,则若取，则球面上的总电势是位于M1点的等效点电荷称为M0点点电荷的电像。例1在球r＝a内求解拉普拉斯方程的第一边值问题解：同理，球的泊松积分例2在半空间z＞0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题解:zM0(x0,y0,z0)OxyM(x,y,z)M1(x0,y0,-z0)=半空间的泊松积分