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1、等比数列的前n项和(1)2009.9.29复习:等差数列等比数列定义通项公式性质Sn+等差数列求和方法回顾:(倒序相加)n个相同的数国王赏麦的故事①②②—①，得中间各数均为0使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论注意：借助和式的代数特征进行恒等变形当q=1时，当q≠1时，二.例题:例1.求等比数列1/2,1/4,1/8,…的前8项的和S8答案:S8=255/256例2.某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10％，那么从第1年起约几年內可使总产量达到30万吨（保留到个位）？解：根据题意，每年的产量组成一个等比数列{an},∴n㏒
2、101.1=㏒101.6∴n=㏒101.6/㏒101.1≈0.20/0.041≈5答：约5年內可以使总产量达到30万吨。则a1=5,q=1+10％=1.1,Sn=30,∴5(1-1.1n)/(1-1.1)=30 ∴1.1n=1.6例3.求和: (x+)+(x2+)+…+(xn+) (x≠0,x≠1,y≠1)1y1y21yn例3已知等比数列,求前8项的和.小结：等比数列求和公式：推导方法：错位相消法复习导入1.等比数列的定义an+1:an=qan=a1qn–1Sn=a1+a2+…+anSn-1=a1+a2+…+an-1an=Sn–Sn-1归纳要熟
3、记公式：或练习１.2或-38或18-6185知三求二练习2.等比数列前n项和公式的推导(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以(二)从基本问题出发公式Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q(三)从(二)继续发散开有Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1(*)qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn(**)两式相减
4、有(1–q)Sn=a1–a1qn….Sn=……….思考题：1）求数列{nxn-1}的前n项和,即Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=?2）若数列{an}是等比数列,Sn是前n项的和，那么s3,s6-s3,s9-s6成等比数列吗？设k∈N*那么sk,s2k-sk,s3k-s2k成等比数列吗？I、复习回顾2、等比数列的通项公式1、等比数列的定义式：3、等比数列的性质这些你都记得吗?阳光国际高中部数学组2009.9.29祝同学们国庆快乐！2009.12.21求数列通项的若干方法结束2009.12.21求数列前n项和的方法1.公式法：①等差数列的前n项
5、和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤例1：若实数a,b满足： 求：分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)、例3.求下列数列的前n项和（1）解（1）：该数列的通项公式为（2）例4、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1①xSn=x+2x2+……+
6、(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。错位相减法例4、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)Sn=1+x+x2++xn-1-nxn1-(1+n)xn+nxn+11-x=∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-nxn…………………4.裂项相消法（或拆项法）：若数列的通项公
7、式可拆分为某数列相邻两项之差的形式即：或（）则可用如下 方法求前n项和.例.设是公差不为零的等差数列，满足求它的前n项和常见的拆项公式有：例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的前几项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？拆项相消法11×3=（-213111）例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=（-+-+…
8、…+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项
