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1、数列问题的解题技巧2017年8月24日星期四等差(作差)等比(作商)1.定义an-an-1=danan-1=q(q≠0)2.anan=a1+(n-1)dan=a1qn-13.SnSn=n(a1+an)2=na1+12n(n-1)dSn=na1,(q=1)a11-qn1-q,(q≠1)4.中项2B=A+CB2=A·C5.角标若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则am·an=ap·aq求an常用的有四种方法an=Sn-Sn-1(n≥2)注：此公式适用于任何数列累加法an+1=an+f(n
2、)累积法an+1=an·f(n)构造法an+1=pan+q求Sn常考的有三种方法错位相减法{an·bn}(其中，一个为等差，另一个为等比数列)分组求和法{an+bn}(其中，一个为等差，另一个为等比数列)裂项抵消法{1an·bn}，例如{2n(n+1)}={2(1n-1n+1)}一、求an，an=Sn-Sn-1(n≥2)例：已知Sn=4an-1，求an。解：∵Sn=4an-1……Sn-1=4an-1-1……，-得an=Sn-Sn-1=4(an-an-1)化简得3an=4an-1，∴anan-1=43=q,当
3、n=1时，S1=4a1-1=a1，即a1=13∴数列{an}是以13为首项，43为公比的等比数列，∴an=13·(43)n-1,(n≥2)注：这种题型的变异，若an+1=2Sn+1，(n≥2)，求anan+1=2Sn+1……an=2Sn-1+1……，-得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2anan+1=3an,即an+1an=3=q，又∵a2=2S1+1，即a2=2a1+1=a1·3,a1=1∴数列{an}是以1为首项3为公比的等比数列∴an=3n-1，(n≥2)二、累加法an+1=an+f(n)例：已
4、知an+1=an+3n+2,且a1=1，求an解：∵an+1=an+3n+2∴a2=a1+3·1+2a3=a2+3·2+2…………an=an-1+3(n-1)+2∴an=a1+3[1+2+…+(n-1)]+2(n-1)=1+3n(n-1)2+2(n-1)=3n2+n-22,(n≥2)三、累积法an+1=an·f(n)例:已知an+1=an·2n,且a1=1，求an解：∵an+1=an·2n∴an+1an=2n，将n=1,2，…，(n-1)分别代入，得a2a1=21a3a2=22…………anan-1=2n-1
5、∴a2a1·a3a2·…·anan-1=21·22·…·2n-1=21+2+…+(n-1)∴an=2n(n-1)2四、构造法(构造新数列)形如an+1=pan+q例1：已知an+1=2an+1,且a1=1，求an解：引入参数，然后利用待定系数法求出参数，an+1+=2(an+),即an+1+λ=2an+2，得=1∴an+1=2an+1an+1+1=2(an+1)∴an+1+1an+1=2=q令bn=an+1,b1=a1+1=2则数列{bn}是以2为首项2为公比的等比数列∴bn=2·2n-1=2n，即an+1
6、=2n，∴an=2n-1形如an+1=pan+f(n)，解法：两边同除pn+1例2：已知an+1=2an+3n,且a1=1，求an解法：两边同除以2an的系数2的an+1的角标次方(即2n+1)就可以约去an前面的系数。解：∵an+1=2an+3n两边同除以2n+1得，an+12n+1=2an2n+1+3n2n+1∴an+12n+1=an2n+12·(32)n,(n≥2)令{bn}={an2n}，再将n=2,3,4,…，n分别代入bn=bn-1+12·(32)n-1，得b2=b1+12·(32)1b3=b2
7、+12·(32)2…………bn=bn-1+12·(32)n-1∴bn=b1+12·[(32)1+(32)2+…+(32)n-1]=12+12·32[1-(32)n-1]1-32=(32)n-1∴an=2nbn=2n·(32)n-2n=3n-2n求Sn常用的有三种方法一、错位相减法形如{an·bn}(其中，一个为等差，另一个为等比数列)例1.求数列{(2n+1)2n}的前n项和Sn。解：∵an=(2n+1)2n∴Sn=(2×1+1)21+(2×2+1)22+…+(2n+1)2n……….2Sn=(2×1+1)2
8、2+(2×2+1)23+…+(2n+1)2n+1……….-Sn=(2×1+1)21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n+1)2n+1∴Sn=(2n+1)2n+1-2(22+23+…+2n)-(2×1+1)21=(2n+1)2n+1-2·22(1-2n-1)1-2-6=(n-1)2n+2+2n+1+2小结：本题通项为an=(2n+1)2n从2n+1是公差为2的等差数列，2n是公比为2的等比数列，即本数列为差比
