勾股定理竞赛培优.doc

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1、七年级春季班自信释放潜能；付出铸就成功！第一章勾股定理培优专题专题一一、内容提要1.勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c22.勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的，，……倍②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。②如果a,

2、b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数　　3，4，5：勾三股四弦五　　5，12，13：5·12记一生　　6，8，10：连续的偶数　　7，24，25：企鹅是二百五　　8，15，17：八月十五在一起特殊勾股数　　连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，102.100以内的勾股数开头数字为20以内6.　　345；5121

3、3；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；121620；123537；138485；144850；152025；153639；163034；166365；182430；188082二、例题例1.已知线段a　　a　　　　a　　　2a　　3aa　　　　　　　　　　　　　　　　　　求作线段a　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　分析一：a＝＝2a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：a＝23七年级春季班自信释放潜能；付出铸就成功！∴a

4、是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F

5、ACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　DE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　

6、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三、练习1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：①7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：①252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，③＝＿＿＿，④＝＿＿＿3.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△

7、ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD求证：AE＝AF6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，23七年级春季班自信释放潜能；付出铸就成功！且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：AE＝AF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc