数值分析讲稿后面例题汇总※.doc

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1、X0.50.60.7/(X)-0.693147-0.510826-0.356675例I己知函数lnx的数据如下，分别用线性插值和二次插值求ln(0.54)的近似值。>zxx-x.x-0.6缰八/「、x-x(.x-0.5「解L(x)===—1Ox+6,Zi(兀)===10兀一5,兀。-兀]0.5-0.6X)-x00.6-0.5厶(x)=皿(兀)+M(x)=1.82321Ox-1.604752。ln(0.54)«厶(0.54)=-0.62021860°=(-和(“勺)=(一0.普—0.7)=50宀65兀+21,0(北_可)(兀0_乞)(0.5-

2、0.6)(0.5_0.7)/,(x)=DD=((f5)=_100宀120x-35,(Xj—Xq)(%j—x0)(0.6—0.5)(0.6—0.7)=(匕鱼)(口)=匕。*'二0.6)=50x2_55*+15,-(尢2-x0)(x2—xj(O.7-O.5)(O.7-O.6)L2(x)=yQlQ(x)+M(x)+y2Z2(x)=-1.408500x2+3.372560%一2.027302,ln(0.54)q厶2(0.54)=-0.616838200,ln(0.54)=-0.6161861396.例1用正交多项式求f(x)=ex在[-1,1]上的

3、三次最佳平方逼近多项式。解用Chebyshev多项式。°()=丄pcos^Zr=1.2660,g(k=1,2,3)=-recoszcos=1.1303,0.2715,0.0443,71故护=1.26607；(兀)+1.13037；(兀)+0.27157；(x)+().04437；(x)=0.1772x3+0.543()兀2+0.9974兀+0.9945。用Legendre多项式。ak伙=0,1,2,3)=[Pk{x)exclx=1.1752,1」036,0.357&0.0705,13故以=工akpk(兀)=0.9963+0.9980兀+0.

4、5367x2+0.1762。*=0例2将f(x)=arcsinx在［-1,1］上展成切比雪夫级数。解因/(兀)为奇函数，从而丄淫巴也为奇函数，故=-Vl-x2~兀dx=0o-x2—arcsin(cos0)cos(2Z:+1)0dO71」)(£—&jcos(2£+l)&dO4r从ifuarcsinx=—(x)+71a2k+4]^■(2^717°3(兀).]G+i(兀)[9(2k+1)2注/(a)=arcsinx的泰勒展式为¥(2R—1)!!1知arcsin兀=Zxk=0(2£)!!(2£+1)■KC"0(2k)!!(2k+1)!!(k―+o

5、o)□『sin"xdx=

6、0,工时=53.63,=1078,1=1i=li=l所求运动方程为s(t)=22.254/-7.855。可用相关系数=即“匚口X)伫£(门)]衡量数据线性化程度,本例中相关系数ay=0.98818,这表明数据的线性相关性较好。例2/(x)=J十i'的Taylor级数为Vl+x“、i152(13314141t(X)=IHXXHXX+•…X<—28161282当x〉丄吋，上述级数发散，但用有理函数逼近可扩大其逼近范围。22+log2•log(3-2冋+33^2+1例1/(x)=ln(l+x)的Taylor级数为r2r3了"ln(l+x)=x_一

7、++(_1)曲一+…，兀w[_l,l],23n其部分和为S3=T(-i严—ak用S”⑴计算In2的近似值，收敛速度很慢。比如为了保证误差不超过lOt就需要取n>5000o若収有理函数对其进行逼近，则效果大不相同。例2f（x）=2816128当兀冷时，上述级数发散，但用有理函数逼近可扩大其逼近范亂■例1分别用复化梯形公式5=8）和复化Simpson公式（n=4）i

8、算（竺力。』X解x01/82/83/84/85/86/87/8f（x）10.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.9088516

9、0.87719250.8414709h"TT.=-f（Q+2工他+kh）+f（b）28”一1门0）+2工/-+/（1）u0.9456909:k=54=

10、/（6/）+4工/@+（