点击解决最值问题的常用方法.doc

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1、点击解决最值问题的常用方法[内容提要]在生活实际中常要考虑在一定条件下怎样使成本最低，消耗最少，使收益最大，方案最优，行走路径最短，周长面积最小等问题。这类生活问题一般可转化为求函数或线段的最小值或最大值的数学问题，此类问题涉及知识面广，综合性强，解法有一定技巧性。通过这类问题的解决可以培养学生的数学思想方法，提高学生的数学思维能力。本文举例介绍解决初中数学中有关最值问题一些常用方法。一、配方法配方法是数学中的一种重要解题思想方法，将已知代数式（等式）配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解决。例1设x、y为实数，

2、代数式5x2+4y2－8xy+2x+4的最小值为_______。二、分类讨论法当解决的问题存在一些不确定因素，这时常用分类讨论法按一定的标准或原则分为若干类、然后逐类求解，再综合这几点的结论从而求解。例2已知0≤a≤4，那么的最大值等于（）（A）1（B）5（C）8（D）3三、数形结合法有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来，从而利用几何关系来求解。例3使取最小值的实数x的值为_________。解析：通过观察不难发现，

3、题设条件中有明显的几何意义。即可将、分别视为x、2和6（8－x）、4为直角边的直角三角形的斜边，进而构造如图所示的几何图形。AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，AB=8。则PC=，PD=。于是，问题可转化为：在线段AB上找一点P，使得PC+PD最短，由“两点之间线段最短”的性质知，当点P、C、D共线时，PC+PD最短，即原式取最小值。此时，易知△APC~△BPD∴，从而PA=AB=。故原式取最小值时，x=。四、函数模型法函数模型的应用是数学应用问题的主要类型，从数学角度理解问题，分析问题中的变量和常量，将实际问题抽象成数学问

4、题建立函数模型，再根据函数的性质，结合自变量的取值范围从而求出最值。例4某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。（总费用=生产成本+运费）例

5、5已知：抛物线y=ax2－2ax+c(a≠60)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。五、不等式法一些要求最大利润，最优方案生活问题，可根据题意把实际问题转化为不等式模型，从而求出某些量的取值范围，再结合函数性质求解。例6：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为9

6、00元，需天，每吨售价为4500元，现将这50吨原料全部加工完。（1）设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系式。（2）如果必须在20天内完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？六、垂线段法在一些几何问题中要求线段、周长、面积最小值时，可通过把相关线段特殊化，化为垂线段，根据垂线段最短的性质从而得解。例7：边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上异于A、D两点的一个动点，F是CD上的动点，且满足AE+CF=a，如图。（1）证明：不论E、F怎样移动，6△BEF总是正三角形，求出△BEF面积最小值。七、判别式

7、法求某些字母代数式的最值时可设整个代数式为一个新的字母再变形转化为某个字母的一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式去求出新字母的取值范围，即确定原代数式的取值范围，从而得解。例8：设a，b为实数，那么代数式的最小值是多少？八、对称变换法求某些几何图形中的线段的和的最小值时，可采用轴对称变换的方法将其中一条线段变换，进而把两条线段合并成一条线段根从而求出最值。例9：如图，正方形ABC的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上移动，则PE+PC的最小值是多少？解析：作E点关于直线BD的对称点E′，则E′点在AB上，且BE′=

8、2，PE′=PE。又PE+PC=PE′+PC≥E′C（当E′、P、C三点共线时取等号），所以PE+PC的最小值为：E′C==九、换元法6对于形如的函数，一般可考虑用换元法将其转化为二次函数，通过求二次函数的最值来达到求原